Grupa cykliczna

Grupa cykliczna – grupa generowana przez pojedynczy element nazywany jej generatorem^[1] (grupa cykliczna może mieć wiele generatorów, ale każdy z nich samodzielnie generuje tę grupę). Oznacza to, że poprzez cykliczne iterowanie (wielokrotne złożenie) działania grupowego na generatorze lub jego odwrotności można uzyskać dowolny element tej grupy; w notacji multiplikatywnej elementy są więc potęgami generatora, a w notacji addytywnej – jego wielokrotnościami.

Grupę cykliczną ${\displaystyle G}$ daje się zatem przedstawić jako

${\displaystyle \langle a\rangle :=\{a^{n}\in G\colon n\in \mathbb {Z} \},}$

gdzie ${\displaystyle a}$ jest (pewnym wybranym) generatorem grupy ${\displaystyle G.}$ W szczególności może się zdarzyć, iż ${\displaystyle a^{n}}$ będzie dla pewnego ${\displaystyle n\in \mathbb {Z} }$ równe elementowi neutralnemu ${\displaystyle e}$ – w tym wypadku grupa zawiera skończenie wiele elementów; jeżeli taka sytuacja nie zachodzi, to grupa ma nieskończenie wiele (dokładnie: przeliczalnie wiele) elementów. Najmniejszą grupą cykliczną jest grupa trywialna zawierająca tylko jeden element; najmniejszą grupą niecykliczną jest grupa Kleina (nazywana również „czwórkową”) rzędu ${\displaystyle 4.}$

Grupy cykliczne należą do najprostszych i najlepiej poznanych grup: skończone i nieskończone grupy cykliczne mają tę samą strukturę co (odpowiednio) grupy addytywne ${\displaystyle \mathbb {Z} _{n}}$ dla ${\displaystyle n\in \mathbb {N} }$ (zob. arytmetyka modularna) oraz ${\displaystyle \mathbb {Z} }$ (zob. liczby całkowite). W szczególności stanowią one „budulec” niektórych rodzajów grup przemiennych, zob. klasyfikacje grup przemiennych o skończonej liczbie elementów oraz grup przemiennych o skończonej liczbie generatorów.

Grupa multiplikatywna dowolnego ciała skończonego (tj. zbiór elementów odwracalnych, czyli niezerowych, z mnożeniem) jest grupą cykliczną; w szczególności grupa multiplikatywna ${\displaystyle \mathbb {Z} _{p}^{\times }}$ pierścienia klas reszt modulo ${\displaystyle p}$ jest cykliczna dla dowolnej liczby pierwszej ${\displaystyle p.}$ Ogólniej, ${\displaystyle \mathbb {Z} _{n}^{\times }}$ jest cykliczna wtedy i tylko wtedy, gdy ${\displaystyle n=4}$ lub jest postaci ${\displaystyle p^{k}}$ lub ${\displaystyle 2p^{k}}$ dla nieparzystej liczby pierwszej ${\displaystyle p}$ i liczby naturalnej ${\displaystyle k.}$ Z drugiej strony dowolna grupa rzędu będącego liczbą pierwszą jest cykliczna.