Homologia singularna

Homologia singularna – pojęcie odnoszące się do badania pewnego rodzaju algebraicznych niezmienników przestrzeni topologicznych, zwanych grupami homologii singularnej. Homologia singularna jest szczególnym przykładem teorii homologii, których liczba w ciągu ostatniego półwiecza znacząco wzrosła. Ponieważ jest budowana na dość konkretnych fundamentach, jest jedną z mniej abstrakcyjnych i prostszych do zrozumienia teorii homologii.

W skrócie, konstrukcja homologii singularnych polega na rozpatrywaniu przekształceń ze standardowego n-sympleksu w daną przestrzeń topologiczną ${\displaystyle X.}$ Przekształcenia te łączymy w formalne sumy, otrzymując dla każdego ${\displaystyle n\geqslant 0}$ wolną grupę abelową. Grupy te są połączone operatorami brzegu, a całość tworzy kompleks łańcuchowy. Grupy homologii singularnych to po prostu grupy homologii tego kompleksu łańcuchowego. Dla homotopijnie równoważnych przestrzeni otrzymujemy izomorficzne grupy, co pozwala patrzeć na nie jak na pewnego rodzaju algebraiczne niezmienniki, przyporządkowane klasom homotopijnej równoważności przestrzeni. Ponieważ konstrukcję tę można przeprowadzić dla dowolnych przestrzeni topologicznych, a ciągłe przekształcenia między przestrzeniami indukują morfizmy grup homologii tych przestrzeni, homologie singularne można wyrazić w terminach teorii kategorii jako funktor z kategorii przestrzeni topologicznych do kategorii grup abelowych z gradacją.