Monoid

Monoid^[1] (z gr. μονοειδές od μόνος monos „jedyny” i εἶδος eîdos „wygląd, postać, kształt”) – półgrupa, której działanie ma element neutralny^[2]. Formalnie monoid to algebra ${\displaystyle (S,e,*),}$ sygnatury ${\displaystyle (0,2),}$ gdzie ${\displaystyle S}$ jest niepustym zbiorem, natomiast

${\displaystyle *\colon S\times S\to S}$

jest działaniem dwuargumentowym, spełniającym warunki:

1. ${\displaystyle \forall _{a\in S}\;e*a=a*e=a}$       (${\displaystyle e}$ jest elementem neutralnym),
2. ${\displaystyle \forall _{a,b,c\in S}\;\left(a*b\right)*c=a*\left(b*c\right)}$       (działanie jest łączne).

Szczególny przypadek monoidu stanowi grupa. Wynika stąd następujące zawieranie:

klasa półgrup ${\displaystyle \supseteq }$ klasa monoidów ${\displaystyle \supseteq }$ klasa grup.

Każdy monoid ${\displaystyle M}$ jest izomorficzny z półgrupą wszystkich endomorfizmów pewnej algebry ${\displaystyle M.}$ Jest to uogólnienie twierdzenia Cayleya.