Notacja Denavita-Hartenberga

Notacja Denavita-Hartenberga wprowadzona została do robotyki w celu uproszczenia opisu „mechanicznych ramion”. W uproszczeniu przedstawia ona sposób na przejście od początku do końca układu połączonych ze sobą obiektów (które mogą być liniami prostymi, prostopadłościanami itp.).

Przykład:

Na rysunku przedstawione zostało podwójne wahadło. Notacja Denavita-Hartenberga pozwala opisać sposób przemieszczenia się z punktu zaczepienia pierwszego wahadła (punktu 0), do punktu zaczepienia drugiego ramienia (punktu 1). W notacji Denavita-Hartenberga przedstawia się to jako:

${\displaystyle RotZ(q_{1})TrX(l_{1})RotZ(q_{2})TrX(l_{2}),}$

gdzie:

${\displaystyle RotZ}$ oraz ${\displaystyle TrX}$ są symbolami macierzy transformacji elementarnych,

${\displaystyle q_{1},q_{2}}$ określają kąt o jaki obrócone są wahadła,

${\displaystyle l_{1},l_{2}}$ są długością wahadeł.

Notacja ta pozwala za pomocą macierzy przedstawić algorytm przemieszczenia, umożliwiający wyznaczenie zależności położenia punktu końcowego od położenia punktów pośrednich.

W robotyce jednym ze sposobów wyznaczenia położenia poszczególnych ogniw manipulatora jest użycie notacji Denavita-Hartenberga (D-H). Metoda ta jest bardzo prosta w zastosowaniu oraz w implementacji w programie komputerowym i pozwala opisać prawie każdy otwarty łańcuch kinematyczny. W celu zastosowania tej metody na początku wyznacza się macierze przejścia pomiędzy kolejnymi elementami łańcucha. W ogólności pojedyncza macierz transformacji z układu ${\displaystyle A_{i-1}}$ w ${\displaystyle A_{i}}$ przedstawiona jest jako

${\displaystyle A_{i-1}^{i}=RotZ(\theta _{i})TranZ(d_{i})TranX(a_{i})RotX(\alpha _{i}),}$

gdzie:

${\displaystyle a_{i},d_{i},\alpha _{i}}$ – parametry geometryczne,

${\displaystyle \theta _{i}=q_{i}}$ – zmienna przegubowa

dla przegubu obrotowego oraz

${\displaystyle \theta _{i},a_{i},\alpha _{i}}$ – parametry geometryczne,

${\displaystyle d_{i}=q_{i}}$ – zmienna przegubowa

dla przegubu przesuwnego. Symbole RotZ, TranZ, TranX oraz RotX oznaczają elementarne macierze transformacji.

Złożenie transformacji ${\displaystyle A_{i-1}^{i}}$ dla całego łańcucha kinematycznego pozwala wyznaczyć odwzorowanie K: ${\displaystyle \mathbb {Q} \to \mathbb {SE} (3)}$

${\displaystyle K(q)=A_{0}^{N}(q)=\prod _{i=1}^{N}A_{i-1}^{i}(q_{i}),\quad q=(q_{1},q_{2},\dots ,q_{N})^{T}\in \mathbb {Q} ,}$

gdzie:

${\displaystyle \mathbb {Q} }$ – symbol przestrzeni współrzędnych wewnętrznych,

${\displaystyle q}$ – wektor współrzędnych wewnętrznych,

${\displaystyle \mathbb {SE} (3)}$ – symbol specjalnej grupy euklidesowej.

Kinematyka manipulatora ma postać ${\displaystyle K(q)={\begin{bmatrix}R(q)&T(q)\\0&1\end{bmatrix}},}$

gdzie wektor ${\displaystyle T(q)}$ określa położenie efektora wyrażone w bazowym układzie współrzędnych, natomiast macierz ${\displaystyle R(q)}$ określa jego orientację w przestrzeni również wyrażoną w bazowym układzie współrzędnych.