Teoria perturbacji

Teoria perturbacji, rachunek zaburzeń^[1] – zbiór metod matematycznych, używanych do znalezienia przybliżonego rozwiązania problemu, który nie może być rozwiązany w sposób ścisły, dostarczając bezpośrednie rozwiązanie problemu. Teoria perturbacji może być zastosowana do rozwiązania problemu, gdy można go przedstawić jako część dającą bezpośrednie rozwiązanie i stosunkowo mały człon zaburzający.

Teoria perturbacji dąży do przedstawienia rozwiązania danego problemu za pomocą szeregu potęgowego z niewielkim parametrem określającym odchylenie (zaburzenie) od dokładnie rozwiązywalnego problemu. Odchylenie to oznaczane jest często przez ${\displaystyle \epsilon .}$ Pierwszy człon tego szeregu jest rozwiązaniem rozwiązywalnego (niezaburzonego) problemu, podczas gdy dalsze człony szeregu opisują odchylenie od ściśle rozwiązywalnego problemu. Formalnie, dla opisania aproksymacji rozwiązania pełnego problemu ${\displaystyle A}$ używany formuły:

${\displaystyle A=A_{0}+\epsilon A_{1}+\epsilon ^{2}A_{2}+\ldots }$

w tym wyrażeniu, ${\displaystyle A_{0}}$ jest dokładnym rozwiązaniem problemu niezaburzonego (pozbawionego odchylenia, a jednocześnie dokładnie rozwiązywalnego), natomiast ${\displaystyle A_{1},A_{2},\dots }$ reprezentują kolejne człony opisujące zaburzenie. Dla małych wartości ${\displaystyle \epsilon }$ czynniki coraz wyższych rzędów stają się zaniedbywane.