Twierdzenie Cayleya-Hamiltona

Twierdzenie Cayleya-Hamiltona mówi, że każda macierz kwadratowa nad ciałem liczb rzeczywistych lub zespolonych jest pierwiastkiem swojego wielomianu charakterystycznego^[1]. Nazwa upamiętnia matematyków: Arthura Cayleya i Williama Hamiltona

Dokładniej; jeżeli ${\displaystyle A}$ jest macierzą ${\displaystyle n\times n}$ oraz ${\displaystyle I_{n}}$ jest macierzą identycznościową ${\displaystyle n\times n}$ to wielomian charakterystyczny ${\displaystyle A}$ jest zdefiniowany jako:

${\displaystyle w(\lambda )=\det(\lambda I_{n}-A),}$

gdzie ${\displaystyle \det }$ oznacza wyznacznik.

Twierdzenie Cayleya-Hamiltona mówi, że podstawienie ${\displaystyle A}$ do wielomianu charakterystycznego daje w rezultacie macierz złożoną z samych zer:

${\displaystyle w(A)=0_{n}.}$

Ważnym wnioskiem z teorii Cayleya-Hamiltona jest fakt, że wielomian minimalny danej macierzy jest dzielnikiem wielomianu charakterystycznego. Jest to bardzo przydatne podczas znajdowania postaci Jordana danej macierzy.