Curvatura gaussiana

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Em geometria diferencial, a curvatura gaussiana ou curvatura de Gauss de um ponto sobre uma superfície é o produto das curvaturas principais, κ₁ e κ₂, do ponto dado. É uma medida intrínsica de curvatura, i.e., seu valor depende somente de como as distâncias são medidas sobre a superfície, não da maneira como estão imersas no espaço. Este resultado é o índice do teorema egrégio de Gauss.^[1][2]

Simbolicamente, a curvatura gaussiana Κ é definida como

${\displaystyle \mathrm {K} =\kappa _{1}\kappa _{2}\,\!}$.

Também é dada por

${\displaystyle \mathrm {K} ={\frac {\langle (\nabla _{2}\nabla _{1}-\nabla _{1}\nabla _{2})\mathbf {e} _{1},\mathbf {e} _{2}\rangle }{\det g}},}$

onde ${\displaystyle \nabla _{i}=\nabla _{{\mathbf {e} }_{i}}}$ é o derivativo covariante e g é o tensor métrico.

Em um ponto p sobre uma superfície regular em R³, a curvatura gaussiana é também dada por

${\displaystyle K(\mathbf {p} )=\det(S(\mathbf {p} )),}$

onde S é o operador de formato.

Uma útil fórmula para a curvatura gaussiana é a equação de Liouville em termos do Laplaciano em coordenadas isotérmicas.