Dados composicionais

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Em estatística, dados composicionais são descrições quantitativas das partes de algum todo, que transmitem exclusivamente informações de forma relativa ao todo. Medições que envolvem probabilidades, proporções, porcentagens podem ser pensadas como dados composicionais. A característica mais marcante deste tipo de dados é que sua soma é sempre igual a uma constante (1 para proporções e 100 para porcentagens). Tais dados são muito comuns em áreas de pesquisa como a geologia.^[1]

A definição original, dada pelo estatístico escocês John Aitchison em 1986, tem várias consequências:

• Um ponto de dado composicional, ou composição de forma abreviada, pode ser representado por um vetor real positivo com tantas partes quanto consideradas. Algumas vezes, se o montante total for fixo e conhecido, um componente de vetor pode ser omitido.
• Como as composições apenas possuem informações relativas, a única informação é dada por razões entre componentes. Consequentemente, uma composição multiplicada por qualquer constante positiva contém a mesma informação que a anterior. Por isso, vetores positivos proporcionais são equivalentes quando considerados como composições.
• Como usual em matemática, classes equivalentes são representas por algum elemento da classe, chamado de representante. Assim, composições equivalentes podem ser representadas por vetores positivos cujos componentes se adicionam a uma dada constante ${\displaystyle \kappa }$. A operação do vetor que atribui o representante da soma constante é chamada de fechamento e é denotada por ${\displaystyle {\mathcal {C}}[\cdot ]}$:

  ${\displaystyle {\mathcal {C}}[x_{1},x_{2},\dots ,x_{D}]=\left[{\frac {x_{1}}{\sum _{i=1}^{D}x_{i}}},{\frac {x_{2}}{\sum _{i=1}^{D}x_{i}}},\dots ,{\frac {x_{D}}{\sum _{i=1}^{D}x_{i}}}\right],\ }$

em que ${\displaystyle D}$ é o número de partes (componentes) e ${\displaystyle [\cdot ]}$ denota um vetor linha.

• Dados composicionais podem ser representados por vetores reais da soma constante com componentes positivos e estes vetores abrangem um simplex, definido como

  ${\displaystyle {\mathcal {S}}^{D}=\left\{\mathbf {x} =[x_{1},x_{2},\dots ,x_{D}]\in \mathbb {R} ^{D}\left|x_{i}>0,i=1,2,\dots ,D;\sum _{i=1}^{D}x_{i}=\kappa \right.\right\}.\ }$^[2]

O espaço amostral ${\displaystyle {\mathcal {S}}^{D}}$ é também conhecido como simplex de Aitchison. Acontece que uma estrutura alternativa do espaço vetorial pode ser definida no simplex de Aitchison, o que motivou o desenvolvimento da geometria de Aitchison.^[3]