Grupo ortogonal

Teoria de grupos → Grupos de Lie Grupos de Lie
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Grupos simples de Lie Lista de grupos simples de Lie Clássicos An Bn Cn Dn Excepcionais G2 F4 E6 E7 E8
Outros grupos de Lie Circular Lorentz Poincaré Grupo conformal Difeomorfismo Euclidiano
Álgebras de Lie Mapa exponencial Representação adjunta (grupo álgebra) Forma de Killing Índice Simetria de ponto de Lie Álgebra simples de Lie
Álgebra de Lie semissimples Diagramas de Dynkin Subálgebra de Cartan Sistema de raízes Grupo de Weyl Forma real Complexificação Álgebra segmentada de Lie Álgebra compacta de Lie
Espaços homogêneos Subgrupo fechado Subgrupo parabólico Espaço simétrico Espaço simétrico hermitiano Sistema de raízes restrito root system
Teoria de representação Representação de grupos de Lie Representação de álgebras de Lie
Grupos de Lie na física Física de partículas e teoria de representação Representações do grupo de Lorentz Representações do grupo de Poincaré Representações do grupo Galileano
Cientistas Sophus Lie Henri Poincaré Wilhelm Killing Élie Cartan Hermann Weyl Claude Chevalley Harish-Chandra Armand Borel
Tabela de grupos de Lie
v d e

Em matemática, um grupo ortogonal é um grupo de todas as transformações lineares de um espaço vetorial ${\displaystyle V}$ de ${\displaystyle n}$ dimensões de um campo, que preserva a um ${\displaystyle k}$ não singular fixo de forma quadrática ${\displaystyle Q}$ em ${\displaystyle V}$, (ou seja, as transformações lineares ${\displaystyle \phi }$ tal que ${\displaystyle Q(\phi (v))=Q(v)}$ para todos ${\displaystyle v\in V}$). Um grupo ortogonal é um grupo clássico.^[1] Os elementos de um grupo ortogonal são chamados transformações ortogonais^[2] de ${\displaystyle V}$ (com relação a ${\displaystyle Q}$), ou também de automorfismos de forma ${\displaystyle Q}$.^[3]

Além disso, permita ${\displaystyle {\rm {char\;}}k\neq 2}$ (para grupos ortogonais sobre os campos com característica 2 e deixe ${\displaystyle f}$ ser a forma bilinear simétrica não singular em ${\displaystyle V}$ relacionada com o ${\displaystyle Q}$ pela fórmula

${\displaystyle f(u,v)={\frac {1}{2}}(Q(u+v)-Q(u)-Q(v))}$

O grupo ortogonal, então, consiste naqueles transformações lineares de V que preservam f, e é indicado por ${\displaystyle O_{n}(k,f)}$ ou (quando está se falando de um campo específico ${\displaystyle k}$ e uma forma específica ${\displaystyle f}$) simplesmente por ${\displaystyle O_{n}}$ . Se ${\displaystyle B}$ é a matriz de ${\displaystyle f}$ em relação a algumas bases de ${\displaystyle V}$, então o grupo ortogonal pode ser identificado com o grupo de todos os ${\displaystyle (n\times n)}$-matrizes A com coeficientes de ${\displaystyle k}$ tal que ${\displaystyle A^{T}BA=B}$ (onde ${\displaystyle {}^{T}}$ representa a matriz transposta).^[4] O determinante de uma matriz ortogonal sendo 1 ou -1, um subgrupo importante de ${\displaystyle O_{(}n)}$ é o grupo especial ortogonal, denotado ${\displaystyle SO_{(}n)}$, das matrizes ortogonais do determinante 1.^[5][6]

Referências

• Portal da matemática

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