Teste de Abel

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Em matemática, o teste de Abel (Veja Niels Henrik Abel) demonstra a convergência de séries numéricas que podem ser escritas na forma:

${\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }a_{n}b_{n}}$

onde as duas propriedades são verificadas:

• ${\displaystyle \sum _{n=1}^{N}a_{n}\,}$ converge
• {b_n} é monótona e ${\displaystyle \lim _{n\to \infty }b_{n}=b_{\infty }\neq \pm \infty \,}$

Para a demonstração,pode-se usar o Critério de Dirichlet. Como a sequência ${\displaystyle (b_{n})}$ é limitada inferiormente por zero, ela converge, sendo então c seu limite.

${\displaystyle \lim _{n\to \infty }b_{n}=c}$ e ${\displaystyle \lim _{n\to \infty }b_{n}-c=0}$ onde ${\displaystyle b_{n}-c}$ também uma sequênca decrescente com limite 0 e assim aplica-se o Critério de Dirichlet.

Então: ${\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }a_{n}(b_{n}-c)=\sum _{n=1}^{\infty }a_{n}b_{n}-c\sum _{n=1}^{\infty }a_{n}}$

Somando ${\displaystyle c.\sum _{n=1}^{\infty }a_{n}}$ em ambos os lados:

${\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }a_{n}(b_{n}-c)+c\sum _{n=1}^{\infty }a_{n}=\sum _{n=1}^{\infty }a_{n}b_{n}}$

onde ${\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }a_{n}(b_{n}-c)}$ converge, pelo Critério de Dirichlet e ${\displaystyle c.\sum _{n=1}^{\infty }a_{n}}$ converge, pela hipótese,

Logo, ${\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }a_{n}b_{n}}$ também converge.