Densitate (politop)

În geometrie densitatea unui poliedru stelat este o generalizare a conceptului de indice de rotație^⁠(d) din două dimensiuni la dimensiuni superioare, reprezentând numărul de înfășurări ale poliedrului în jurul centrului său de simetrie. Ea poate fi determinată cu ajutorul unei semidrepte de la centru la infinit, care trece numai prin fațetele politopului (nu și prin celelalte elemente inferior dimensionale) și numărând prin câte fațete trece. La poliedrele la care acest număr nu depinde de alegerea semidreptei și pentru care punctul central nu este el însuși pe vreo fațetă, densitatea este dată de acest număr de fațete traversate de acea semidreaptă.

Același calcul poate fi efectuat pentru orice poliedru convex, chiar și unul fără simetrii, alegând ca centru orice punct din interiorul poliedrului. Pentru aceste poliedre densitatea va fi 1.

Mai general, pentru orice poliedru care nu se autointersectează, densitatea poate fi calculată ca fiind 1 printr-un calcul similar, luând o semidreaptă dintr-un punct interior care trece doar prin fațetele poliedrului, adăugând 1 atunci când această semidreaptă trece din interiorul în exteriorul poliedrului și scăzând 1 când semidreapta trece din exterior în interiorul poliedrului. Totuși, această atribuire a semnelor la traversări nu se aplică în general poliedrelor stelate, deoarece acestea nu au un interior și exterior bine definite.

La teselările cu fețe care se suprapun se poate defini similar densitatea, ca fiind numărul de acoperiri de către fețe a unui punct dat.^[1]