Simplex

În geometrie un simplex (plural: simplexuri) este o generalizare a noțiunii de triunghi sau tetraedru la un număr de dimensiuni arbitrare. Denumirea de simplexuri vine de la faptul că sunt reprezentările celor mai simple politopuri care sunt posibile într-un spațiu dat.

De exemplu,

• un 0-simplex este un punct,
• un 1-simplex este un segment,
• un 2-simplex este un triunghi,
• un 3-simplex este un tetraedru,
• un 4-simplex este un 5-celule.

Mai exact, un k-simplex este un politop k-dimensional care este anvelopa convexă a celor k + 1 vârfuri. Formalizat, admițând că cele k + 1 puncte ${\displaystyle u_{0},\dots ,u_{k}\in \mathbb {R} ^{k}}$ sunt independente într-un spațiu afin, ceea ce înseamnă că ${\displaystyle u_{1}-u_{0},\dots ,u_{k}-u_{0}}$ sunt liniar independente^⁠(d), simplexul este mulțimea acestor puncte:

${\displaystyle C=\left\{\theta _{0}u_{0}+\dots +\theta _{k}u_{k}~{\bigg |}~\sum _{i=0}^{k}\theta _{i}=1{\mbox{ și }}\theta _{i}\geq 0{\mbox{ pentru }}i=0,\dots ,k\right\}.}$

Un simplex regulat^[1] este un simplex care este un Politop regulat. Un n-simplex regulat poate fi construit dintr-un (n − 1)-simplex regulat prin conectarea unui nou vârf la toate vârfurile existente prin segmente de lungime egală cu a celor existente.

Simplexul standard^[2] este simplexul format din cei k + 1 versori standard, adică

${\displaystyle \{x\in \mathbb {R} ^{k+1}:x_{0}+\dots +x_{k}=1,x_{i}\geq 0{\text{ pentru }}i=0,\dots ,k\}.}$

În topologie și combinatorică, este uzual să fie „lipite împreună” simplexuri pentru a forma un Complex simplicial.^[3] Structura combinatorică asociată este un complex simplicial abstract^⁠(d), unde cuvântul „simplex” înseamnă, simplu, orice mulțime finită de vârfuri.