Tensor

În matematică, un tensor este un obiect geometric care asociază într-o manieră multi-liniară vectori geometrici, scalari și alți tensori cu un tensor rezultat. Vectorii și scalarii care sunt adesea folosiți în fizica elementară și în aplicațiile inginerești sunt considerați cei mai simpli tensori. Vectorii din spațiul dual^⁠(d) al spațiului vectorial, care furnizează vectorii geometrici, sunt, de asemenea, considerați tensori.^[1] În acest context, cuvântul geometric are scopul de a sublinia independența de orice selecție a unui sistem de coordonate.

Un exemplu elementar de transformare descrisă ca tensor este produsul scalar, care transformă doi vectori într-un scalar. Un exemplu mai complex este tensorul de tensiune Cauchy^⁠(d) T, care ia un vector de direcție v ca intrare și îl transformă în vectorul de tensiune T^(v), care este forța (pe unitatea de suprafață) exercitată de materialul de pe partea negativă a planului ortogonal pe v asupra materialului de pe partea pozitivă a planului, exprimând astfel o relație între acești doi vectori, prezentată în figură (dreapta). Produsul vectorial, în care doi vectori sunt transformați într- un al treilea, nu este strict un tensor, deoarece își schimbă semnul sub acele transformări care schimbă orientarea sistemului de coordonate. Simbolul total anti-simetric^⁠(d) ${\displaystyle \varepsilon _{ijk}}$permite însă o manipulare convenabilă a produsului vectorial în sisteme de coordonate tridimensionale egal orientate.

Considerând o bază a unui spațiu vectorial real, de exemplu un sistem de coordonate în spațiul ambiant, un tensor poate fi reprezentat ca un tablou multidimensional^⁠(d) organizat de valori numerice în raport cu această bază specifică. Schimbarea bazei transformă valorile din tablou într-un mod caracteristic care permite definirea tensorilor ca obiecte care aderă la acest comportament transformator. De exemplu, există invarianți de tensori care trebuie să fie conservați sub orice schimbare a bazei, făcând astfel ca numai anumite tablouri multidimensionale de numere să constituie un tensor. Matricea reprezentând ${\displaystyle \varepsilon _{ijk}}$nu este deci un tensor, din cauza schimbării semnului sub transformările care schimbă orientarea.

Deoarece componentele vectorilor și ale dualilor lor se transformă în mod diferit sub schimbarea bazelor lor duale, există o lege de transformare covariantă și/sau contravariantă^⁠(d) care leagă matricele care reprezintă tensorul într-o bază cu cele care îl reprezintă în cealaltă. Numerele, respectiv ale vectorilor: n (indicii contravarianți^⁠(d)), vectorilor duali: m și (indici covarianți^⁠(d)) de la intrarea și ieșirea unui tensor determină tipul (sau valența) tensorului, o pereche de numere naturale (n, m), care determină forma exactă a legii de transformare. Ordinul unui tensor este suma acestor două numere.

Ordinul (numit și gradul sau rangul) unui tensor este deci suma ordinelor argumentelor sale plus ordinea tensorului rezultat. Aceasta este chiar dimensiunea matricei de numere necesare pentru a reprezenta tensorul în raport cu o bază specifică sau, echivalent, cu numărul de indici necesari pentru etichetarea fiecărei componente din acea matrice. De exemplu, într-o bază fixă, o aplicație liniară standard care asociază un vector la un alt vector este reprezentată de o matrice (o matrice bidimensională) și, prin urmare, este un tensor de ordinul doi. Un vector simplu poate fi reprezentat ca o matrice unidimensională și, prin urmare, este un tensor de ordinul I. Scalarii sunt numere simple și sunt deci tensori de ordinul 0. În acest fel, tensorul reprezentând produsul scalar, care primește doi vectori și produce un scalar, are ordinul 2 + 0 = 2, egal cu tensorul de tensiune, care primește un vector și returnează un altul: 1 + 1 = 2. Simbolul ${\displaystyle \varepsilon _{ijk}}$,care transformă doi vectori într-un vector, ar avea ordinul 2 + 1 = 3.

Colecția de tensori pe un spațiu vectorial și dualul său formează o algebră tensorială^⁠(d), care permite produse de tensori arbitrari. Aplicațiile simple ale tensorilor de ordinul 2, care pot fi reprezentate ca matrice pătrată, pot fi rezolvate prin aranjarea inteligentă a vectorilor transpuși și prin aplicarea regulilor de înmulțire a matricilor, dar produsul tensorial nu trebuie confundat cu aceasta.

Tensorii sunt importanți în fizică deoarece oferă un cadru matematic concis pentru formularea și rezolvarea problemelor de fizică în domenii precum mecanica (tensiunea, elasticitatea, mecanica fluidelor, momentul de inerție etc.), electrodinamică (tensor electromagnetic^⁠(d), tensor Maxwell^⁠(d), permitivitate, susceptibilitatea magnetică, ...) sau relativitate generală (tensorul de energie-tensiune, tensorul de curbură, ...) și altele. În aplicații, este comună studierea situațiilor în care poate exista un tensor diferit în fiecare punct al unui obiect; de exemplu, tensiunea dintr-un obiect poate varia de la o locație la alta. Aceasta duce la conceptul de câmp de tensori. În unele domenii, câmpurile de tensori sunt atât de omniprezente încât se numesc pur și simplu „tensori”.

Tensorii au fost concepuți în 1900 de Tullio Levi-Civita și Gregorio Ricci-Curbastro, care au continuat munca anterioară a lui Bernhard Riemann și a lui Elwin Bruno Christoffel și alții, ca parte a calculului diferențial absolut^⁠(d). Conceptul a permis o formulare alternativă a geometriei diferențiale intrinseci a unei varietăți sub forma unui tensor de curbură Riemann. ^[2]