Exponentialfunktion

Exponentialfunktioner är en klass av matematiska funktioner som kännetecknas av att funktionsvärdets ändringstakt är proportionell mot funktionsvärdet. Exempelvis kan ränta på ränta beräknas som

${\displaystyle slutbeloppet=r^{x}\cdot startbeloppet}$

där r^x är en exponentialfunktion, den årliga räntefaktorn är r (till exempel 1,10 för 10 % ränta) och x antalet år.

Exponentialfunktionerna kan skrivas på flera former, exempelvis

• ${\displaystyle f(x)=C\cdot \mathrm {e} ^{kx}}$
• ${\displaystyle f(x)=C\cdot a^{x}}$
• ${\displaystyle f(x)=\mathrm {e} ^{kx+a}}$

Då det talas om exponentialfunktionen (i bestämd form), avses funktionen f(x) = e^x (skrivs även som exp(x) i de flesta programspråk). ^[1]

Talet e är den naturliga logaritmens bas och har egenskapen att

${\displaystyle f(x)=\mathrm {e} ^{x}\quad \Rightarrow \quad f'(x)=f(x)}$

det vill säga, exponentialfunktionen är sin egen derivata. Därför är det ofta lämpligt att skriva om exponentialfunktioner till basen e när de används exempelvis vid deriveringar eller i differentialekvationer.