Konvergens (matematik)

Den här artikeln behöver källhänvisningar för att kunna verifieras. (2020-03) Åtgärda genom att lägga till pålitliga källor (gärna som fotnoter). Uppgifter utan källhänvisning kan ifrågasättas och tas bort utan att det behöver diskuteras på diskussionssidan.

Konvergens är inom matematik en egenskap hos vissa följder, det vill säga sekvenser av objekt ${\displaystyle x_{i}}$. Dessa är konvergenta om de närmar sig ett fixt objekt ${\displaystyle x}$.

Med att en summa är konvergent menas att följden av dess partialsummor är konvergent.

Formellt är en följd ${\displaystyle \{x_{i}\}_{i\in \mathbb {N} }}$ i ett metriskt rum X konvergent om det finns ett element x i rummet X sådant att

För varje ${\displaystyle \epsilon >0}$ så finns ${\displaystyle N\in \mathbb {N} }$ så att om ${\displaystyle i>N}$ så gäller

${\displaystyle d(x_{i},x)<\epsilon }$.

I ett allmänt topologiskt rum X sägs följden ${\displaystyle \{x_{i}\}_{i\in \mathbb {N} }}$ konvergera mot x, om det för varje omgivning U till x gäller att ${\displaystyle X\setminus U}$ endast innehåller ändligt många element från följden ovan.

Motsatsen är att följden är divergent.

I ett fullständigt metriskt rum är alla Cauchy-följder konvergenta. Stolz–Cesàros sats kan användas för att avgöra om en serie är konvergent.