Skevkropp

I matematiken är en skevkropp eller divisionsring en unitär ring, där varje element utom nollan har en multiplikativ invers. Varje kropp är en skevkropp, men inte omvänt, eftersom man i allmänhet kräver att kroppar dessutom skall uppfylla den kommutativa lagen för multiplikation. Talområdet H av kvaternioner är ett exempel på en icke-kommutativ skevkropp.

Informellt uttryckt är en skevkropp ett algebraiskt område där man kan räkna med plus, minus och gånger ungefär som man är van vid, utom att a • b inte alltid måste bli samma sak som b • a; och där dessutom alla element utom nollan är inverterbara.

Mer precist är en skevkropp K en mängd tillsammans med två binära operationer: en addition som brukar betecknas med +, sådan att (K,+) utgör en abelsk grupp (med neutralt element 0 och invers^{[särskiljning behövs]} -a till a i K), och en multiplikation (·), sådan att (K,·) utgör en monoid (med neutralt element 1 ≠ 0), varje element a ≠ 0 har en multiplikativ invers a^-1, och multiplikationen distribuerar additionen både från vänster och från höger. Med andra ord har K någon slags addition, subtraktion och multiplikation, som uppfyller "de vanliga räknelagarna", utom att multiplikationen i allmänhet inte behöver vara kommutativ; i stället kan det inträffa att a·b ≠ b·a. Division får man vara litet försiktigare med: Om b ≠ 0, så finns det i allmänhet två olika tänkbara kandidater till "a delat med b", nämligen ab^-1 och b^-1a, så alla "vanliga räkneregler" för division uppfylls i allmänhet inte. (Se nedan för detaljer!)

En skevkropp karakteriseras också av att den är en unitär ring som saknar icke-triviala ideal; det finns inget vare sig ensidigt eller tvåsidigt ideal utom nollidealet och hela skevkroppen. Speciellt utgör skevkroppar de mest grundläggande exemplen på halvenkla ringar.