Pagpapalakas (matematika)

Iminungkahing pag-isahin ang Eksponente sa artikulo o bahaging ito. (pag-usapan)

Mga operasyon ng Aritmetika

Pagdaragdag (+) ${\displaystyle \scriptstyle \left.{\begin{matrix}\scriptstyle {\text{termino}}\,+\,{\text{termino}}\\\scriptstyle {\text{panagdag}}\,+\,{\text{panagdag}}\end{matrix}}\right\}\,=\,}$ ${\displaystyle {\begin{matrix}\scriptstyle {\text{dagup}}\\\scriptstyle {\text{suma}}\end{matrix}}}$ Pagbabawas (−) ${\displaystyle \scriptstyle \left.{\begin{matrix}\scriptstyle {\text{termino}}\,-\,{\text{termino}}\\\scriptstyle {\text{bawasin}}\,-\,{\text{pamawas}}\end{matrix}}\right\}\,=\,}$ ${\displaystyle {\begin{matrix}\scriptstyle {\text{diperensiya}}\\\scriptstyle {\text{kaibhan}}\end{matrix}}}$ Pagpaparami (×) ${\displaystyle \scriptstyle \left.{\begin{matrix}\scriptstyle {\text{kabuo}}\,\times \,{\text{kabuo}}\\\scriptstyle {\text{damihin}}\,\times \,{\text{parami}}\end{matrix}}\right\}\,=\,}$ ${\displaystyle {\begin{matrix}\scriptstyle {\text{produkto}}\\\scriptstyle {\text{bunga}}\end{matrix}}}$ Paghahati (÷) ${\displaystyle \scriptstyle \left.{\begin{matrix}\scriptstyle {\frac {\scriptstyle {\text{hatiin}}}{\scriptstyle {\text{pahati}}}}\\\scriptstyle {\text{ }}\\\scriptstyle {\frac {\scriptstyle {\text{panakda}}}{\scriptstyle {\text{pamahagi}}}}\end{matrix}}\right\}\,=\,}$ ${\displaystyle {\begin{matrix}\scriptstyle {\text{hatimbilang}}\\\scriptstyle {\text{kosyente}}\\\scriptstyle {\text{kahatian}}\\\scriptstyle {\text{tagway}}\end{matrix}}}$ ${\displaystyle {\begin{matrix}\scriptstyle {\text{ }}\\\scriptstyle {\text{ }}\\\scriptstyle {\text{butal}}\\\scriptstyle {\text{ }}\\\scriptstyle {\text{ }}\end{matrix}}}$ Pagpapalakas ${\displaystyle \scriptstyle {\text{base}}^{\text{eksponente}}\,=\,}$ ${\displaystyle \scriptstyle {\text{lakas}}}$ Ugat (√) ${\displaystyle \scriptstyle {\sqrt[{\text{antas}}]{\scriptstyle {\text{radikando}}}}\,=\,}$ ${\displaystyle \scriptstyle {\text{ugat}}}$ Logaritmo (log) ${\displaystyle \scriptstyle \log _{\text{base}}({\text{lakas}})\,=\,}$ ${\displaystyle \scriptstyle {\text{logaritmo}}}$

t u b

Sa matematika, ang pagpapalakas o pagpapaangat (Ingles: exponentiation) ay isa sa mga operasyon sa aritmetika na isinusulat sa anyong ${\displaystyle b^{n}}$, kung saan ang ${\displaystyle b}$ ay ang báse nito at ${\displaystyle n}$ ang lakas o eksponente (mula Espanyol exponente). Binibigkas itong "b pinalakas nang n (na) beses" o "b inangat nang n (na) beses." Kung isang positibong buumbilang ang ${\displaystyle n}$, katumbas lang ito sa paulit-ulit na pagpaparami sa báse nito, ang sagot sa ${\displaystyle b^{n}}$ ay ang produkto ng pagpaparami sa ${\displaystyle b}$ nang ${\displaystyle n}$ (na) beses.

    ${\displaystyle b^{n}=\underbrace {b\times \dots \times b} _{n{\text{ (na) beses}}}}$

Isinusulat kadalasan ang eksponente nang nakaangat (superscript) sa kanan ng báse.

Kung pinalakas ang ${\displaystyle b}$ nang isang beses, o sa ekspresyong matematikal, ${\displaystyle b^{1}}$, magreresulta ito sa sarili niya (${\displaystyle b^{1}=b}$). Kung pinarami naman ang dalawang ${\displaystyle b}$ na itinaas sa lakas na ${\displaystyle m}$ at ${\displaystyle n}$, magreresulta naman ito sa ${\displaystyle b^{m+n}}$.

    ${\displaystyle b^{m}\times b^{n}=b^{m+n}}$

Para mapalawig ang katangiang ito sa mga negatibong buumbilang na lakas, ginagawang ${\displaystyle 1}$ ang sagot sa ${\displaystyle b^{0}}$. Samantala, ${\displaystyle {\frac {1}{b^{n}}}}$ naman ang sagot sa ${\displaystyle b^{-n}}$, basta ba positibong buumbilang ang ${\displaystyle n}$ at hindi sero ang ${\displaystyle b}$. Sa pananaw na ito, magkatumbas ang ${\displaystyle b^{-1}}$ sa ${\displaystyle {\frac {1}{b}}}$, ang kabaligtaran (reciprocal) ng ${\displaystyle b}$.

Maaaring palawigin ang kahulugan ng pagpapalakas para masáma ang kahit anong mga tunay o komplikadong eksponente. Maaari ring mabigyang-kahulugan ang pagpapalakas na gumagamit ng buumbilang bilang eksponente (hal. ${\displaystyle 2^{2}}$) gamit ng samu't saring mga istrakturang alhebraiko, tulad ng mga baskagan (matrix).

Madalas gamitin ang pagpapalakas sa iba't iba at samu't saring mga larangan, kabilang na ang ekonomika, biyolohiya, kimika, pisika, at agham pangkompyuter. Magagamit rin ang operasyong ito sa mga tubong tinubuan (compound interest), paglaki ng populasyon, galawang kemikal (chemical kinetics), pag-aaral sa ugali ng mga alon, at kriptograpiyang nakasusing pampubliko (public-key cryptography).