Komplexe Zahl

Die komplexe Zaale erwitere d Mängi vo de reelle Zaale eso, ass d Gliichig ${\displaystyle x^{2}+1=0}$ e Löösig het.

Für daas wird e nöiji Zaal ${\displaystyle \mathrm {i} }$ iigfüert, wo d Äigeschaft ${\displaystyle \mathrm {i} ^{2}=-1}$ het. Die Zaal ${\displaystyle \mathrm {i} }$ wird as imaginääri Äinhäit bezäichnet.

Dr Ursprung vo dr Theorii vo de imaginääre Zaale, das häisst vo alle Zaale, wo s Kwadrat von ene e negativi reelli Zaal isch, goot uf die italiänische Mathematiker Gerolamo Cardano und Rafael Bombelli im 16. Joorhundert zrugg.^[1] D Uufüerig vo dr imaginääre Äinhäit ${\displaystyle \mathrm {i} }$ as nöiji Zaal wird im Leonhard Euler zuegschriibe.

Komplexi Zaale wärde mäistens in dr Form ${\displaystyle a+b\cdot \mathrm {i} }$ daargstellt. ${\displaystyle a}$ und ${\displaystyle b}$ si doo reelli Zaale und ${\displaystyle \mathrm {i} }$ die imaginääri Äinhäit isch. Mit komplexe Zaale won eso daargstellt wärde cha mä die üüblige Rächereegle für reelli Zaale bruuche, und mä cha drbii ${\displaystyle \mathrm {i} ^{2}}$ immer mit −1 ersetze und umkeert. Für d Mängi vo de komplexe Zaale wird s Sümbool ${\displaystyle \mathbb {C} }$ (Unicode U+2102: ℂ) verwändet.

Der Beriich vo de komplexe Zaale, wo so konstruiert wird, bildet e Körper und het e Räije vo vordäilhafte Äigeschafte, wo in vile Beriich vo de Natur- und Ääscheniöörwüsseschafte üsserst nützlig si. Äine vo de Gründ für die positive Äigeschafte isch dass die komplexe Zaale algebraisch abgschlosse si. Das bedütet, ass jeedi algebraischi Gliichig vom e Graad gröösser as Null über de komplexe Zaale e Löösig het, was für reelli Zaale nit gältet. Die Äigeschaft isch dr Inhalt vom Fundamentalsatz vo dr Algebra. En witere Grund isch dr Zämmehang zwüsche trigonometrische Funkzioone und dr Exponenzialfunkzioon, wo über die komplexe Zaale cha härgstellt wärde. Usserdäm isch jeedi Funkzioon, wo uf ere offnige Mängi äimol komplex differenzierbar isch, dört vo sälber differenzierbar so vil mä will, andersch as in dr Analüüsis vo de reelle Zaale. D Äigeschafte vo Funkzioone mit komplexe Argumänt wärde in dr Funkzioonetheorie behandlet, wo au komplexi Analüüsis häisst.

1. ↑ Hans Wußing: 6000 Jahre Mathematik. Eine kulturgeschichtliche Zeitreise. Von den Anfängen bis Leibniz und Newton. Springer, Berlin u. a. 2008, ISBN 978-3-540-77189-0, S. 394.