Vektorski prostor

Ovaj članak ili neki od njegovih odlomaka nije dovoljno potkrijepljen izvorima (literatura, veb-sajtovi ili drugi izvori). Ako se pravilno ne potkrijepe pouzdanim izvorima, sporne rečenice i navodi mogli bi biti izbrisani. Pomozite Wikipediji tako što ćete navesti validne izvore putem referenci te nakon toga možete ukloniti ovaj šablon.

Vektorski ili linearni prostor je algebarski pojam u matematici koji nalazi primjenu u svim glavnim granama matematike, među kojima su linearna algebra, analiza i analitička geometrija. Definiše se na sljedeći način:

Neka skup V ima strukturu Abelove grupe u odnosu na sabiranje. Elemente skupa V zovemo vektori. Neutralni element označujemo sa 0 i zovemo nulti vektor.

Neka skup F ima strukturu polja. Elemente skupa F zovemo skalari, a neutralne elemente u odnosu na dvije binarne operacije označujemo sa 0 i 1.

Na skupu F × V definirano je množenje vektora skalarom, tj. preslikavanje F × V → V, koje svakom skalaru ${\displaystyle \alpha \in F}$ i svakom vektoru ${\displaystyle x\in V}$ pridružuje vektor ${\displaystyle \alpha x\in V}$, tako da vrijede sljedeći aksiomi:

(I) ${\displaystyle \alpha (\beta x)=(\alpha \beta )x,\forall \alpha ,\beta \in F,\forall x\in V}$

(II) ${\displaystyle \alpha (x+y)=\alpha x+\alpha y,\forall \alpha \in F,\forall x,y\in V}$

(III) ${\displaystyle (\alpha +\beta )x=\alpha x+\beta x,\forall \alpha ,\beta \in F,\forall x\in V}$

(IV) ${\displaystyle 1x=x,\forall x\in V}$

Ovako se definisano preslikavanje zove množenje vektora skalarom, dok se V naziva vektorski prostor nad poljem F i piše V(F).

Uobičajeno je da se vektorski prostori nad poljem realnih odnosno kompleksnih brojeva nazivaju realni, odnosno kompleksni vektorski prostori. Također, vektorski se prostor u kojem je definisan skalarni produkt naziva Euklidski vektorski prostor.