Svaz (matematika)

Svaz je algebraická struktura se dvěma binárními operacemi zvanými průsek (${\displaystyle \land }$) a spojení (${\displaystyle \lor }$), která splňuje několik axiomů.

Jde o abstraktní strukturu, tj. svazem je jakákoli množina (zvaná „nosná množina“) vybavená těmito operacemi; např. množina čísel, množina množin čísel, množina funkcí atd.

Ekvivalentně se dá svaz definovat jako částečně uspořádaná množina, ve které má každá dvojice prvků supremum (tj. nejmenší horní závoru mezi horními závorami těch prvků) a infimum (největší dolní závoru). Existují-li suprema a infima pro každou množinu, nejen dvouprvkovou, hovoříme o úplném svazu.

Příkladem svazu jsou přirozená čísla, kde průsek vrátí menší z čísel a spojení vrátí větší z nich. Jiným svazem jsou přirozená čísla s operacemi nejmenší společný násobek a největší společný dělitel. Mnoho aplikací mají svazy všech nebo některých podmnožin jisté množiny, kde průsek odpovídá množinovému průniku a spojení často odpovídá sjednocení.

Jednodušší struktura se nazývá polosvaz, jistý typ svazu pak Booleova algebra, která zobecňuje logické pojmy konjunkce (logické „a zároveň“), disjunkce (logické „nebo“) a negace (logické „ne“). Dvouprvková Booleova algebra ${\displaystyle \{0;1\}}$ reprezentuje logickou nepravdu a pravdu.