Gruppehomomorfi

Gruppeteori

Gruppeteori Grundlæggende begreber Undergruppe Normal undergruppe Kvotientgruppe Gruppehomomorfi (semi-)direkte produkt Endelige grupper og klassifikation af endelige simple grupper Cyklisk gruppe Zn Symmetrisk gruppe, Sn Diedergruppe, Dn Alternerende gruppe An Mathieugrupper M11, M12, M22, M23, M24 Conwaygrupper Co1, Co2, Co3 Jankogrupper J1, J2, J3, J4 Fischergrupper F22, F23, F24 Babymonstergruppen B Monstergruppen M Diskrete grupper og gitre Heltallene, Z Gitter (gruppe) Modulære grupper, PSL(2,Z) og SL(2,Z) Topologiske grupper og Liegrupper Solenoide (matematik) Cirkelgruppen Den generelle lineære gruppe GL(n) Den specielle lineære gruppe SL(n) Den ortogonale gruppe O(n) Den specielle ortogonale gruppe SO(n) Den unitære gruppe U(n) Den specielle unitære gruppe SU(n) Den symplektiske gruppe Sp(n) G2 F4 E6 E7 E8 Lorentzgruppen Poincarégruppen Konform gruppe Diffeomorfigruppe Løkkegruppen

I matematikken er en gruppehomomorfi, givet to grupper (G, *) og (H, ·), en afbildning h : G → H, så

h(u * v) = h(u) · h(v), for alle u og v i G,

hvor gruppeoperationen på venstre side af ligningen er den fra G og den på højre side den fra H.

Af denne egenskab kan det udledes, at h afbilder det neutrale element, e_G, fra G i det neutrale element, e_H, fra H, og den afbilder inverse elementer i inverse, forstået sådan at h(u^-1) = h(u)^-1. Man kan derfor sige, at h er kompatibel med gruppestrukturen.

Tidligere har man også brugt notationen x_h for homomorfien h(x), selvom dette kan forveksles med et indeks eller andet subskript. En nyere tendens er at skrive gruppehomomorfier på højre side af deres argument uden parentesen, så h(x) bliver x h. Denne tilgang er særligt udbredt i de områder af gruppeteori, hvor automater spiller en rolle, da det stemmer bedre overens med konventionen om, at automater læser ord fra venstre mod højre.

I områder af matematikken hvor der betragtes grupper med en ekstra struktur, menes med homomorfi somme tider en afbildning, der ikke blot respekterer gruppestrukturen (som ovenfor) men også den ekstra struktur. For eksempel er en homomorfi af topologiske grupper typisk kontinuert pr. definition.