Vinkelhalveringslinje

En vinkelhalveringslinje er en linje, der deler en vinkel i to lige store dele. Den er m.a.o. det geometriske sted for de punkter, som hver især befinder sig lige langt fra hver af de to linjer, der danner vinklen.

I en vilkårlig trekant, hvor topvinklerne ${\displaystyle A}$, ${\displaystyle B}$ og ${\displaystyle C}$ samt disses modstående sider ${\displaystyle a}$, ${\displaystyle b}$ og ${\displaystyle c}$ kendes, kan en ligning for fx ${\displaystyle A}$'s halveringslinje ${\displaystyle AD}$ bestemmes ved på ${\displaystyle a}$ at lokalisere punktet ${\displaystyle D}$, jævnfør Figur 1.

Først beregnes de fra ${\displaystyle B}$ og ${\displaystyle C}$ på ${\displaystyle AD}$ nedfældede højder:

${\displaystyle B_{h}=c\sin \left({\frac {A}{2}}\right)}$;

${\displaystyle C_{h}=b\sin \left({\frac {A}{2}}\right)}$.

Dernæst defineres forholdstallet:

${\displaystyle F={\frac {B_{h}}{B_{h}+C_{h}}}}$,

som ganget med fx ${\displaystyle a}$ giver ${\displaystyle |BD|}$.

Lader vi toppunkterne være givet ved

${\displaystyle A_{t}=(A_{1},A_{2})}$,

${\displaystyle B_{t}=(B_{1},B_{2})}$ og

${\displaystyle C_{t}=(C_{1},C_{2})}$,

kan ${\displaystyle D}$'s koordinater bestemmes som følger:

${\displaystyle D_{1}=B_{1}+F(C_{1}-B_{1})}$;

${\displaystyle D_{2}=B_{2}+F(C_{2}-B_{2})}$.

Hvis

${\displaystyle d_{1}=D_{1}-A_{1}}$ og

${\displaystyle d_{2}=D_{2}-A_{2}}$,

er halveringslinjens parametriske ligning givet ved

${\displaystyle (A_{1}+d_{1}t;A_{2}+d_{2}t)}$,

mens dens kartesiske ligning kan skrives på formen

${\displaystyle -d_{2}(x-A_{1})+d_{1}(y-A_{2})=0\quad \Longleftrightarrow }$

${\displaystyle -d_{2}x+d_{1}y+k=0\quad \Longleftrightarrow }$

${\displaystyle k=d_{2}A_{1}-d_{1}A_{2}}$.