Algebraischer Abschluss

Ein Körper ${\displaystyle K}$ heißt algebraisch abgeschlossen, wenn jedes nicht-konstante Polynom mit Koeffizienten in ${\displaystyle K}$ eine Nullstelle in ${\displaystyle K}$ hat. Ein Körper ${\displaystyle L}$ ist ein algebraischer Abschluss von ${\displaystyle K}$, wenn er algebraisch abgeschlossen ist und ein algebraischer Erweiterungskörper von ${\displaystyle K}$ ist. Da ein algebraischer Abschluss bis auf Isomorphie eindeutig ist, spricht man häufig auch von dem algebraischen Abschluss. Das Auffinden von Nullstellen von Polynomen ist eine wichtige mathematische Aufgabenstellung, in einem algebraischen Abschluss kann zumindest deren Existenz gesichert werden. Tatsächlich kann man zeigen, dass es zu jedem Körper einen algebraischen Abschluss gibt.