Familie (Mathematik)

Der Begriff der Familie wird in der Mathematik unmittelbar aus dem Grundbegriff der Funktion abgeleitet, informell handelt es sich bei einer Familie um eine Sammlung von Objekten mit einem Index aus einer Indexmenge. Die Begriffe Familie und Funktion stimmen aus technischer Hinsicht überein. Eine Funktion

${\displaystyle a\colon I\to A}$

von einer Indexmenge ${\displaystyle I}$ in eine Menge ${\displaystyle A}$ wird zu einer Familie, wenn wir das Element ${\displaystyle a(i)}$ mit ${\displaystyle a_{i}}$ notieren und die Funktion ${\displaystyle a}$ als ${\displaystyle (a_{i})_{i\in I}}$ notieren. Der Unterschied zwischen der Funktion und der Familie liegt dabei einerseits im Formalen, also in der Schreib- und Sprechweise, und andererseits in der Verwendung und der dadurch suggerierten Bedeutung.

Im Gegensatz zu einer Menge kann bei einer Familie dasselbe Element mehrmals an verschiedenen Positionen vorkommen, das heißt ${\displaystyle a_{i}=a_{j}}$ für ${\displaystyle i\neq j}$. Besonders häufig ist die Darstellung der Familie als Menge von Wertepaaren, wobei die unabhängige(n) Variable(n) als Index (Indizes) der abhängigen Variable notiert sind. Wenn die so dargestellte Funktion nicht injektiv ist, enthält die Mengendarstellung Elemente, die sich paarweise nur durch den Index unterscheiden. Davon abweichend versteht man unter einer „Familie von Mengen“ oder „Mengenfamilie“ teilweise eine Menge von Mengen (ein sogenanntes Mengensystem), oder eine Mengenfamilie.