Fourier-Analysis

Die Fourier-Analysis (Aussprache: fuʁie aˈnaːlyzɪs), die auch als Fourier-Analyse oder klassische harmonische Analyse bekannt ist, ist die Theorie der Fourierreihen und Fourier-Integrale. Sie wird vor allem verwendet, um zeitliche Signale in ihre Frequenzanteile zu zerlegen. Aus der Summe dieser Frequenzanteile lässt sich das Signal wieder rekonstruieren.

Ihre Ursprünge reichen in das 18. Jahrhundert zurück. Benannt ist sie nach dem französischen Mathematiker Jean Baptiste Joseph Fourier, der im Jahr 1822 in seiner Théorie analytique de la chaleur Fourier-Reihen untersuchte.

Die Fourier-Analysis ist in vielen Wissenschafts- und Technikzweigen von außerordentlicher praktischer Bedeutung. Die Anwendungen reichen von der Physik (Akustik, Optik, Gezeiten, Astrophysik) über viele Teilgebiete der Mathematik (Zahlentheorie, Statistik, Kombinatorik und Wahrscheinlichkeitstheorie), die Signalverarbeitung und Kryptographie bis zu Meereskunde und Wirtschaftswissenschaften. Je nach Anwendungszweig erfährt die Zerlegung vielerlei Interpretationen. In der Akustik ist sie beispielsweise die Frequenz-Transformation des Schalls in Oberschwingungen.

Aus Sicht der abstrakten harmonischen Analyse sind sowohl die Fourier-Reihen und die Fourier-Integrale als auch die Laplace-Transformation, die Mellin-Transformation oder auch die Hadamard-Transformation Spezialfälle einer allgemeineren (Fourier-)Transformation.

Die Fourier-Analysis ist jedoch nicht auf zeitliche Signale begrenzt. Sie kann sinngemäß auch bei örtlichen oder anderen Phänomenen verwendet werden. Z. B.: In der Bildverarbeitung wird eine 2-dimensionale Fourier-Analyse verwendet (siehe den entsprechenden Absatz in „Diskrete Fourier-Transformation“). Und die Fourier-Analyse kann auch auf Fourier-Spektren selbst angewendet werden, um Periodizitäten in Spektren oder andere Regelmäßigkeiten zu erkennen (siehe: Cepstrum, Hilbert-Transformation).