Gleichheit (Mathematik)

Gleichheit, in Formeln als Gleichheitszeichen „${\displaystyle =}$“ geschrieben, bedeutet in der Mathematik vollständige Übereinstimmung. Ein mathematisches Objekt ist nur sich selbst gleich. Es kann natürlich verschiedene Bezeichnungen und Beschreibungen für dasselbe Objekt geben, etwa verschiedene arithmetische Ausdrücke für dieselbe Zahl, verschiedene Definitionen derselben geometrischen Figur oder verschiedene Aufgabenstellungen, die dieselbe eindeutige Lösung haben. Verwendet man die mathematische Formelsprache, heißen solche „Bezeichnungen und Beschreibungen“ Terme. Welches Objekt mit einem Term gemeint ist, ist vom Zusammenhang abhängig, in dem der Term „interpretiert“ wird; dementsprechend ist eine Aussage über die Gleichheit oder Ungleichheit zweier Terme ebenfalls vom Zusammenhang abhängig. Woraus dieser Zusammenhang besteht, wird im Abschnitt Gleichheit innerhalb einer Menge oder Struktur detailliert dargestellt.

Was dasselbe ist, ist austauschbar. Weiß man etwa, dass in einem bestimmten Zusammenhang ${\displaystyle s=t}$ für zwei Terme ${\displaystyle s}$ und ${\displaystyle t}$ gilt, dann kann man:

• in einer Aussage, in der ${\displaystyle s}$ als Bestandteil vorkommt, ein oder mehrere Vorkommen von ${\displaystyle s}$ durch ${\displaystyle t}$ ersetzen, ohne dass sich im gleichen Zusammenhang an der Wahrheit oder Falschheit der Aussage etwas ändert sowie
• in einem Term, in dem ${\displaystyle s}$ als Bestandteil vorkommt, ein oder mehrere Vorkommen von ${\displaystyle s}$ durch ${\displaystyle t}$ ersetzen, wobei im gleichen Zusammenhang der abgeänderte Term dem ursprünglichen gleich ist.

Dieses Prinzip „Gleiches darf durch Gleiches ersetzt werden“ wird unter anderem bei algebraischen Umformungen benutzt. Wird etwa ein Term, der in einem anderen Term oder in einer Formel enthalten ist, vereinfacht oder berechnet und das Ergebnis an der Herkunftsstelle wieder eingesetzt, so ist das eine Anwendung dieses Prinzips, und ebenso, wenn auf beide Seiten einer Gleichung dieselbe Operation angewandt wird. Solche Umformungen sind schon seit dem Altertum zur Lösung algebraischer Aufgaben benutzt worden, z. B. bei Diophant und bei al-Chwarizmi.^[1]

Objekte, die in dieser Weise in jedem Zusammenhang ununterscheidbar und austauschbar sind, werden im allgemeinen Sprachgebrauch als identisch (oder dasselbe) bezeichnet, was mehr aussagt als nur gleich (oder das Gleiche). Dort, aber nicht in der Mathematik, bedeutet Gleichheit nur eine Übereinstimmung in allen im jeweiligen Zusammenhang relevanten Merkmalen, aber keine Identität – ein Sachverhalt, den man in der Mathematik als Äquivalenz oder Kongruenz, aber nicht als Gleichheit bezeichnet.

Gleichheit ist ein grundlegender Begriff in der gesamten Mathematik und wird daher nicht in den einzelnen Teilgebieten der Mathematik, sondern in der mathematischen Logik untersucht. Der Begriff der Identität wird dagegen in der Mathematik nur selten im Sinne von Gleichheit benutzt.

1. ↑ Helmuth Gericke: Mathematik in Antike und Orient. 4. Auflage. Fourier, Wiesbaden 1996, ISBN 3-925037-64-0, S. 144, 198.