Gudermannfunktion

Die Gudermannfunktion, benannt nach Christoph Gudermann (1798–1852), stellt eine Verbindung zwischen den trigonometrischen und den hyperbolischen Funktionen her, ohne dabei die komplexen Zahlen zu benutzen. Dabei ist die Gudermannfunktion eine Zwischenfunktion, um für ein Argument ${\displaystyle x}$ durch Anwendung auf eine Kreisfunktion eine Exponential- bzw. eine Hyperbelfunktion zu erhalten. Sie wurde erstmals von dem Schweizer Mathematiker Johann Heinrich Lambert um 1760 beschrieben, als dieser bei Experimenten mit Kettenbrüchen für den Tangens eine unmittelbare Abhängigkeit der Eulerschen Zahl von der Kreiszahl ${\displaystyle \pi }$ finden wollte. Er konnte für diese von ihm „transzendenter Winkel“ genannte Zwischenfunktion keine nicht-triviale, analytische Form angeben und auch keinen weiteren Nutzen aufzeigen, da sich damit der gesuchte Zusammenhang zwischen ${\displaystyle \pi }$ und ${\displaystyle e}$ nicht herleiten ließ.