Hyperbelfunktion

Die Hyperbelfunktionen sind die korrespondierenden Funktionen der trigonometrischen Funktionen (die auch als Winkel- oder Kreisfunktionen bezeichnet werden), allerdings nicht am Einheitskreis ${\displaystyle x^{2}+y^{2}=1}$, sondern an der Einheitshyperbel ${\displaystyle x^{2}-y^{2}=1}$.

Wie eng diese Funktionen miteinander verwandt sind, erschließt sich noch deutlicher in der komplexen Zahlenebene. Sie wird durch die Relation ${\displaystyle (\mathrm {i} y)^{2}=-y^{2}}$ vermittelt. So gilt z. B. ${\displaystyle \cos(\mathrm {i} x)=\cosh x}$.

Folgende Funktionen gehören zu den Hyperbelfunktionen:

• Hyperbelsinus oder lat. Sinus hyperbolicus (Formelzeichen: ${\displaystyle \sinh }$)
• Hyperbelkosinus oder lat. Cosinus hyperbolicus (${\displaystyle \cosh }$)
• Hyperbeltangens oder lat. Tangens hyperbolicus (${\displaystyle \tanh }$)
• Hyperbelkotangens oder lat. Cotangens hyperbolicus (${\displaystyle \coth }$)
• Hyperbelsekans oder lat. Sekans hyperbolicus (${\displaystyle \operatorname {sech} }$)
• Hyperbelkosekans oder lat. Cosekans hyperbolicus (${\displaystyle \operatorname {csch} }$).

In der deutschen und der holländischen Sprache werden noch sehr häufig die lateinischen Namen verwendet, mit teils eingedeutschter Schreibweise.

Sinus hyperbolicus und Kosinus hyperbolicus sind für alle komplexen Zahlen definiert und auf dem gesamten Gebiet der komplexen Zahlen holomorph. Die übrigen Hyperbelfunktionen haben Pole auf der imaginären Achse.