Klassifikation projektiver Ebenen

Die übliche Klassifikation projektiver Ebenen erfolgt in der synthetischen Geometrie anhand der Operation der jeweiligen Gruppe ihrer Kollineationen. Die Lenz-Barlotti-Klassifikation klassifiziert die Ebenen durch Eigenschaften der Operation bestimmter Untergruppen ihrer Kollineationsgruppe, sie verfeinert dabei die Lenz-Klassifikation. Dazu wird bei beiden Klassifikationen als Merkmal die Reichhaltigkeit der Untergruppen der Kollineationsgruppe betrachtet, die aus zentral-axialen Kollineationen (ebenen, projektiven Perspektivitäten) mit je einer festen Achse und einem festen Zentrum bestehen.

Dabei zeigt sich, dass die gröbere Klasseneinteilung nach Lenz in der Regel jeder Klasse von Ebenen eine für sie charakteristische Klasse von Ternärkörpern zuordnet: Der Koordinatenbereich einer „höheren“ Lenz-Klasse erfüllt – bei geeigneter Wahl der projektiven Punktbasis für die Koordinatisierung – stärkere algebraische Axiome als der einer niedrigeren.

Die Lenz-Barlotti-Klassifikation ist keine Klassifikation „bis auf Isomorphie“: Isomorphe projektive Ebenen gehören stets zur gleichen Klasse, aber Ebenen einer Klasse brauchen nicht zueinander isomorph zu sein. Die einzigen Ausnahmen sind die Lenz-Barlotti-Klassen IVa.3 und IVb.3: In diesen Klassen sind alle Vertreter jeweils zueinander isomorphe Ebenen der Ordnung 9.


Klassifikation projektiver Ebenen

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