Komplexe Zahl

${\displaystyle \mathbb {C} }$

Der Buchstabe C mit Doppelstrich
steht für die Menge der komplexen Zahlen

Die komplexen Zahlen stellen eine Erweiterung der reellen Zahlen dar. Ziel der Erweiterung ist es, algebraische Gleichungen wie ${\displaystyle x^{2}+1=0}$ bzw. ${\displaystyle x^{2}=-1}$ lösbar zu machen. Im Gegensatz zu den Erweiterungen ${\displaystyle \mathbb {N} \rightarrow \mathbb {Z} \rightarrow \mathbb {Q} \rightarrow \mathbb {R} }$ reicht es hier nicht mehr aus, die Zahlen „linksseitig“ zu erweitern (ganze Zahlen) oder „dichter zu stopfen“ (rationale und reelle Zahlen), sondern man wechselt von einer Zahlengeraden zu einer Zahlenebene.

Da die Quadrate aller reellen Zahlen größer oder gleich 0 sind, kann die Lösung der Gleichung ${\displaystyle x^{2}=-1}$ keine reelle Zahl sein. Man braucht eine ganz neue Zahl, die man üblicherweise ${\displaystyle \mathrm {i} }$ nennt, mit der Eigenschaft ${\displaystyle \mathrm {i} ^{2}=-1.}$ Diese Zahl ${\displaystyle \mathrm {i} }$ wird als imaginäre Einheit bezeichnet.

Komplexe Zahlen werden nun als Summe ${\displaystyle a+b\cdot \mathrm {i} }$ definiert, wobei ${\displaystyle a}$ und ${\displaystyle b}$ reelle Zahlen sind und ${\displaystyle \mathrm {i} }$ die oben definierte imaginäre Einheit ist. Auf die so definierten komplexen Zahlen lassen sich die üblichen Rechenregeln für reelle Zahlen anwenden, wobei ${\displaystyle \mathrm {i} }$ wie eine Konstante verwendet wird und ${\displaystyle \mathrm {i} ^{2}}$ durch ${\displaystyle -1}$ ersetzt werden kann und umgekehrt. Für die Menge der komplexen Zahlen wird das Symbol ${\displaystyle \mathbb {C} }$ (ℂ als Unicode-Zeichen U+2102, siehe Buchstaben mit Doppelstrich) verwendet.

Der so konstruierte Zahlenbereich der komplexen Zahlen bildet einen Erweiterungskörper der reellen Zahlen und hat eine Reihe vorteilhafter Eigenschaften, die sich in vielen Bereichen der Natur- und Ingenieurwissenschaften als äußerst nützlich erwiesen haben. Einer der Gründe für diese nützlichen Eigenschaften ist die algebraische Abgeschlossenheit der komplexen Zahlen. Dies bedeutet, dass jede algebraische Gleichung positiven Grades über den komplexen Zahlen eine Lösung besitzt, was für reelle Zahlen nicht gilt. Diese Eigenschaft ist der Inhalt des Fundamentalsatzes der Algebra. Ein weiterer Grund ist ein Zusammenhang zwischen trigonometrischen Funktionen und der Exponentialfunktion (Eulerformel), der über die komplexen Zahlen hergestellt werden kann. Ferner ist jede auf einer offenen Menge einmal komplex differenzierbare Funktion dort auch beliebig oft differenzierbar – anders als in der Analysis der reellen Zahlen. Die Eigenschaften von Funktionen mit komplexen Argumenten sind Gegenstand der Funktionentheorie, auch komplexe Analysis genannt.

In der Elektrotechnik wird stattdessen der Buchstabe ${\displaystyle \mathrm {j} }$ verwendet, um einer Verwechslung mit einer (durch ${\displaystyle i}$ oder ${\displaystyle i(t)}$ bezeichneten) von der Zeit ${\displaystyle t}$ abhängigen Stromstärke vorzubeugen, allerdings erhöht dies die Verwechslungsgefahr mit der Stromdichte ${\displaystyle {\vec {\jmath }}}$ in der Elektrodynamik.