Lemma von Zorn

Das Lemma von Zorn, auch bekannt als Lemma von Kuratowski-Zorn oder Zornsches Lemma, ist ein Theorem der Mengenlehre, genauer gesagt, der Zermelo-Fraenkel-Mengenlehre, die das Auswahlaxiom einbezieht. Es besagt, dass jede induktiv geordnete Menge mindestens ein maximales Element besitzt.

Das Lemma ist benannt nach dem deutsch-amerikanischen Mathematiker Max Zorn, der es 1933 entdeckte^[1][2] (unabhängig von der Entdeckung durch Kuratowski 1922^[3]) und verwandt mit Hausdorffs Maximalkettensatz von 1914.^[4]

Die Zuschreibung an Zorn erfolgte schon in der Ausgabe der Mengenlehre von Bourbaki (als Theorem von Zorn, verfasst von Claude Chevalley, der Zorn aus seiner Zeit bei Emil Artin in Hamburg Anfang der 1930er Jahre kannte) von 1939, die Bezeichnung Lemma erfolgte in einer Veröffentlichung von John W. Tukey (1940).^[5] Es gab noch verschiedene andere Autoren (neben den erwähnten Hausdorff und Kuratowski), die Maximum-Prinzipien veröffentlichten, die aus dem Auswahlaxiom oder dem Wohlordnungssatz folgten (wie Salomon Bochner 1928,^[6] R. L. Moore 1932^[7]). Zorn vermutete aber zuerst (in seiner Arbeit von 1935), dass Auswahlaxiom, Wohlordnungssatz und Zornsches Lemma (das er Maximum-Prinzip nannte) äquivalent sind, und kündigte einen Beweis in einer Folgearbeit an, die nie erschien.

1. ↑ Zorn, zitiert in Paul J. Campbell, The origin of Zorn’s lemma, Historia Mathematica, Band 5, 1978, S. 77–89
2. ↑ Die erste Veröffentlichung durch Zorn erfolgte 1935: Zorn, A remark on method in transfinite algebra, Bulletin AMS, Band 41, 1935, S. 667–670, Project Euclid.
3. ↑ Kuratowski, Une méthode d’élimination des nombres transfinis des raisonnements mathématiques, Fundamenta Mathematicae, Band 3, 1922, S. 76–108
4. ↑ Hausdorff, Grundzüge der Mengenlehre, 1914
5. ↑ Tukey, Convergence and uniformity in topology, Annals of Mathematical Studies 2, Princeton University Press 1940
6. ↑ Bochner, Fortsetzung Riemannscher Flächen, Mathematische Annalen, Band 98, 1928, S. 406–421
7. ↑ Moore, Foundations of point set theory, American Mathematical Society 1932