Lokalisierung (Algebra)

In der Algebra ist Lokalisierung eine Methode, einem Ring ${\displaystyle R}$ systematisch neue multiplikativ inverse Elemente hinzuzufügen. Möchte man, dass die Elemente einer Teilmenge ${\displaystyle S}$ von ${\displaystyle R}$ invertierbar werden, dann konstruiert man einen neuen Ring ${\displaystyle S^{-1}R}$, die „Lokalisierung von ${\displaystyle R}$ nach ${\displaystyle S}$“, und einen Ringhomomorphismus von ${\displaystyle R}$ nach ${\displaystyle S^{-1}R}$, der ${\displaystyle S}$ auf Einheiten von ${\displaystyle S^{-1}R}$ abbildet. ${\displaystyle S^{-1}R}$ und dieser Ringhomomorphismus erfüllen die universelle Eigenschaft der „besten Wahl“.

In diesem Artikel beschränken wir uns auf kommutative Ringe mit Einselement 1. Bei einem Ring ohne Einselement stellen sich Invertierbarkeitsfragen nicht bzw. nur nach Adjunktion eines Einselementes. Für eine Verallgemeinerung auf den Fall nicht-kommutativer Ringe siehe Ore-Bedingung.