Prinzip des kleinsten Zwanges

Prinzip des kleinsten Zwanges (auch gaußsches Prinzip des kleinsten Zwanges) ist ein von Carl Friedrich Gauß 1829 aufgestellter und von Philip Jourdain ergänzter Satz der klassischen Mechanik, wonach ein mechanisches System sich so bewegt, dass der Zwang zu jedem Zeitpunkt ${\displaystyle t}$ minimiert wird.

Der Zwang ist dabei definiert als^[1]:

${\displaystyle Z=\sum _{i}{\frac {1}{2m_{i}}}({\vec {F}}_{i}-m_{i}{\vec {a}}_{i})^{2}=\sum _{i}{\frac {m_{i}}{2}}\left({\frac {{\vec {F}}_{i}}{m_{i}}}-{\vec {a}}_{i}\right)^{2}}$

wobei über die Massenpunkte i summiert wird, mit den vorgegebenen eingeprägten Kräften ${\displaystyle {\vec {F}}_{i}}$, den Massen der Punktteilchen ${\displaystyle m_{i}}$ und den Beschleunigungen ${\displaystyle {\vec {a}}_{i}}$. Die einzelnen Punktteilchen, aus denen man sich das System zusammengesetzt denkt, sind dabei zusätzlichen Zwangsbedingungen unterworfen. Die eingeprägten Kräfte dürfen explizit von der Zeit, vom Ort und der Geschwindigkeit abhängen, nicht jedoch von der Beschleunigung.

Bei der Minimierung des Zwanges bezüglich der Beschleunigungen stehen alle mit den Zwangsbedingungen verträglichen Bewegungen zur Konkurrenz, bei denen zur Zeit ${\displaystyle t}$ die Lagen und die Geschwindigkeiten übereinstimmen. Konkurrenz bedeutet, dass alle möglichen Bewegungen betrachtet werden – auch die, die wegen des Prinzip des kleinsten Zwanges in der Realität gar nicht auftreten.

In der obigen Gleichung stehen die Differenzen zwischen den Beschleunigungen der Massenelemente und den Beschleunigungen, die sie als freie Massen unter der Einwirkung der an ihnen angreifenden eingeprägten Kräfte erfahren würden. Das Prinzip lässt sich damit wie folgt formulieren:

${\displaystyle Z={\mathsf {min}}}$

bzw.

${\displaystyle \delta Z=0}$,

mit ${\displaystyle \delta {\vec {r}}=0,\quad \delta {\vec {v}}=0}$ (nur die Beschleunigung wird variiert).

Das Prinzip des kleinsten Zwangs ist für sehr allgemein formulierte Zwangsbedingungen gültig. In diese können die Zeit, die Orte und Geschwindigkeiten nichtlinear eingehen. Dadurch grenzt sich das Prinzip des kleinsten Zwangs zum Beispiel vom d'Alembert'schen Prinzip der virtuellen Arbeit ab, bei dem in der einfachsten Fassung holonome Zwangsbedingungen gefordert werden. Cornelius Lanczos^[2] nennt es eine geniale Neuinterpretation des d'Alembertschen Prinzips der Mechanik durch Carl Friedrich Gauß, der damit eine Formulierung der mechanischen Prinzipien gefunden hatte, die in der Form seiner Methode der kleinsten Quadrate eng verwandt war.

1. ↑ Form nach dem Buch von Cornelius Lanczos, wo der Vorfaktor 1/2 aus der Ableitung aus dem d´Alembert Prinzip stammt, er kann bei anderen Autoren auch wegfallen
2. ↑ The Variational Principles of Mechanics, Dover, S. 106