Quadratische Gleichung

Eine quadratische Gleichung ist eine Gleichung, die sich in der Form

${\displaystyle ax^{2}+bx+c=0\quad }$

mit ${\displaystyle a\neq 0}$ schreiben lässt. Hierbei sind ${\displaystyle a,b,c}$ Koeffizienten; ${\displaystyle x}$ ist die Unbekannte der Gleichung. Ist zusätzlich ${\displaystyle b=0}$, also die quadratische Gleichung von der Form ${\displaystyle ax^{2}+c=0}$, so spricht man von einer reinquadratischen Gleichung.

In der Mathematik, bzw. genauer der Algebra, interessiert man sich für die Lösungen von quadratischen Gleichungen (aber auch allgemeineren Gleichungen), also für diejenigen Zahlen, die, wenn man sie für ${\displaystyle x}$ einsetzt, zu einer wahren Aussage führen. Das trifft im Beispiel ${\displaystyle x^{2}-4=0}$ auf ${\displaystyle x=\pm 2}$ zu. Die Lösungen einer allgemeinen quadratischen Gleichung ${\displaystyle ax^{2}+bx+c=0}$ lassen sich mithilfe der Formel

${\displaystyle x_{1,2}={\frac {-b\pm {\sqrt {b^{2}-4ac}}}{2a}}}$

explizit bestimmen. Diese Formel wird als a-b-c-Formel oder Mitternachtsformel bezeichnet. Im Bereich der reellen Zahlen kann eine quadratische Gleichung keine, eine oder zwei Lösungen besitzen. Ist der Ausdruck ${\displaystyle b^{2}-4ac}$ unter der Wurzel (die sogenannte Diskriminante) negativ, so existiert keine Lösung; ist sie Null, so existiert genau eine Lösung; wenn sie positiv ist, so existieren zwei Lösungen. Insbesondere lässt sich die Anzahl der Lösungen einer quadratischen Gleichung oberer Form bereits durch eine Untersuchung der Diskriminante bestimmen, ohne die Lösungen selbst genau berechnen zu müssen.

Die linke Seite der Gleichung ${\displaystyle ax^{2}+bx+c=0}$ ist der Term einer quadratischen Funktion (allgemeiner ausgedrückt: ein Polynom zweiten Grades) ${\displaystyle f(x)=ax^{2}+bx+c}$; der Funktionsgraph dieser Funktion im kartesischen Koordinatensystem ist eine Parabel. Geometrisch beschreibt die quadratische Gleichung ${\displaystyle f(x)=0}$ – falls vorhanden – die Nullstellen dieser Parabel.

Konkrete Anwendungen haben quadratische Gleichungen etwa in der Elementargeometrie, da quadratische Terme mit Flächeninhalten von Rechtecken korrespondieren können. In der modernen Mathematik, aber auch in mathematischen Modellen, tauchen sie in ihrer einfachsten Form hingegen eher selten auf, oder sind lediglich ein einfacher Spezialfall einer weitaus umfangreicheren Theorie (etwa jene der algebraischen Gleichungen oder quadratischen Formen). Dennoch gehören quadratische Gleichungen und ihre Auflösung fest zum Lehrplan an vielen Schulen weltweit, da sie Beispiele von Gleichungen sind, die mit in der Schulmathematik zugänglichen Mitteln behandelbar sind, was auf die meisten Gleichungen nicht zutrifft.

In der höheren Algebra bzw. algebraischen Zahlentheorie werden quadratische Gleichungen auch über anderen Körpern betrachtet. Im Falle der komplexen Zahlen haben sie stets mindestens eine Lösung, womit der in der reellen Situation mögliche Fall „keine Lösung“ entfällt. Im Fall endlicher Primkörper führt die Frage nach Lösbarkeit zum quadratischen Reziprozitätsgesetz.