Rotation eines Vektorfeldes

Als Rotation oder Rotor^[1][2] bezeichnet man in der Vektoranalysis, einem Teilgebiet der Mathematik, einen Differentialoperator, der einem Vektorfeld im dreidimensionalen euklidischen Raum mit Hilfe der Differentiation ein neues Vektorfeld zuordnet.

Die Rotation eines Strömungsfeldes gibt für jeden Ort das Doppelte der Winkelgeschwindigkeit an, mit der sich ein mitschwimmender Körper dreht („rotiert“). Dieser Zusammenhang ist namensgebend.

Es muss sich aber nicht immer um ein Geschwindigkeitsfeld und eine Drehbewegung handeln; beispielsweise betrifft das Induktionsgesetz die Rotation des elektrischen Feldes.

Ein Vektorfeld, dessen Rotation in einem Gebiet überall gleich null ist, nennt man wirbelfrei oder, insbesondere bei Kraftfeldern, konservativ. Ist das Gebiet einfach zusammenhängend, so ist das Vektorfeld genau dann der Gradient einer Funktion, wenn die Rotation des Vektorfeldes im betrachteten Gebiet gleich null ist.

Die Divergenz der Rotation eines Vektorfeldes ist gleich null. Umgekehrt ist in einfach zusammenhängenden Gebieten ein Feld, dessen Divergenz gleich null ist, die Rotation eines anderen Vektorfeldes.

Beispiele:

• Das Vektorfeld, das an jedem Ort die Windrichtung und -geschwindigkeit eines Wirbelsturms angibt, hat in der Umgebung des Auges (der Rotationsachse) eine von null verschiedene Rotation.
• Das Vektorfeld ${\displaystyle {\vec {v}}(x,y,z)=\omega \cdot (x\,{\hat {e}}_{y}-y\,{\hat {e}}_{x})\,,}$ das an jedem Punkt einer rotierenden Scheibe die Geschwindigkeit angibt, hat an jedem Punkt dieselbe von null verschiedene Rotation. Die Rotation beträgt das Zweifache der Winkelgeschwindigkeit, ${\displaystyle \operatorname {rot} \,{\vec {v}}(x,y,z)=2\,\omega \,{\hat {e}}_{z}\,.}$ Siehe Abbildung
• Das Kraftfeld, das an jedem Punkt die Gravitationskraft der Sonne auf ein Testteilchen angibt, ist wirbelfrei. Das Kraftfeld ist der negative Gradient der potentiellen Energie des Teilchens.

1. ↑ Walter Rogowski: Wie kann man sich vom Rotor (Wirbel) eines Vektorfeldes und vom Vektorpotentiale eine Anschauung verschaffen? In: Archiv für Elektrotechnik. Band 2, 1914, S. 234–245, doi:10.1007/BF01655798. 
2. ↑ Hans Karl Iben: Tensorrechnung. Mathematik für Naturwissenschaftler und Ingenieure. Vieweg+Teubner Verlag, Stuttgart, Leipzig 1999, ISBN 978-3-519-00246-8, doi:10.1007/978-3-322-84792-8.