Satz von Hahn-Banach

Der Satz von Hahn-Banach (nach Hans Hahn und Stefan Banach) aus dem mathematischen Teilgebiet der Funktionalanalysis ist einer der Ausgangspunkte der Funktionalanalysis. Er sichert die Existenz von ausreichend vielen stetigen, linearen Funktionalen auf normierten Vektorräumen oder allgemeiner auf lokalkonvexen Räumen. Die Untersuchung eines Raums mithilfe der darauf definierten stetigen, linearen Funktionale führt zu einer weitreichenden Dualitätstheorie, die auf allgemeinen topologischen Vektorräumen in dieser Form nicht möglich ist, da eine zum Satz von Hahn-Banach analoge Aussage dort nicht gilt.

Darüber hinaus ist der Satz von Hahn-Banach die Grundlage für viele nicht-konstruktive Existenzbeweise wie z. B. im Trennungssatz oder im Satz von Krein-Milman.

Der Satz wurde im Wesentlichen schon 1912^[1][2] von Eduard Helly bewiesen. Hahn erwähnt Helly in seiner Arbeit von 1927 nicht, wohl aber Banach in seiner Arbeit von 1929, wenn auch nicht in Zusammenhang mit dem Satz selbst.^[3] Beide verwenden aber die Ungleichung von Helly. Die Benennung nach Hahn und Banach tauchte zuerst in einer Arbeit von Frederic Bohnenblust und A. Sobcyzk auf, die den Satz auf komplexe Räume übertrugen.^[4] Ein anderer Beweis des Satzes von Hahn-Banach, der nicht die Ungleichung von Helly verwendet, wurde 1941 von Jean Dieudonné gegeben.^[5]

Die geometrische Form des Satzes von Hahn-Banach findet sich in der Literatur auch unter dem Namen Satz von Minkowski-Ascoli-Mazur oder Satz von Ascoli-Mazur.^[6]

1. ↑ Helly, Über lineare Funktionaloperatoren, Sitzungsberichte Akad. Wiss. Wien, Band 121, 1912, S. 265–297
2. ↑ Harry Hochstadt: Eduard Helly, father of the Hahn-Banach theorem, The Mathematical Intelligencer, Band 2, 1980, Nr. 3, S. 123–125. Nach Hochstadt ist Helly's Beweis vollständig modern in der Form und identisch mit dem Standardbeweis.
3. ↑ Helly benutzte den Satz von Hahn-Banach als Lemma für einen Beweis eines Satzes von Riesz, auf den sich Banach in der Referenz zu Helly bezog.
4. ↑ Bohnenblust, Sobcyzk, Extensions of functionals on complete linear spaces, Bull. AMS, Band 44, 1938, S. 91–93. Sie verweisen darauf das ihr Beweis identisch mit dem von Francis J. Murray von 1936 ist (Murray, Linear transformations in ${\displaystyle L_{p}}$, p >1, Trans. AMS, Band 39, 1936, S. 83–100), der sich wiederum auf Banach bezieht aber nicht von Satz von Hahn-Banach spricht.
5. ↑ Dieudonné, Sur le Théoréme de Hahn-Banach, La Rev. Sci. 79, 1941, S. 642–643.
6. ↑ Semen Kutateladze: Fundamentals of Functional Analysis. Band 12, 1996, ISBN 978-90-481-4661-1, S. 40, doi:10.1007/978-94-015-8755-6 (researchgate.net).