Satz von der impliziten Funktion

Der Satz von der impliziten Funktion ist ein wichtiger Satz in der Analysis. Er beinhaltet ein relativ einfaches Kriterium, wann eine implizite Gleichung oder ein Gleichungssystem (lokal) eindeutig aufgelöst werden kann.

Der Satz gibt an, unter welcher Bedingung eine Gleichung oder ein Gleichungssystem ${\displaystyle F(x,y)=0}$ implizit eine Funktion ${\displaystyle y=f(x)}$ definiert, für die ${\displaystyle F(x,f(x))=0}$ gilt. Eine derartige Funktion kann im Allgemeinen nur lokal in einer Umgebung einer Stelle ${\displaystyle x_{0}}$ gefunden werden. Unter strengeren Annahmen existiert jedoch auch eine globale Version des Satzes.^[1]

Ist die Bedingung des Satzes erfüllt, kann die Ableitung ${\displaystyle {\tfrac {\mathrm {d} f}{\mathrm {d} x}}}$ als Funktion von ${\displaystyle x}$ und ${\displaystyle y}$ ohne Kenntnis der expliziten Funktion ${\displaystyle y=f(x)}$ gewonnen werden; man nennt dies auch implizites Differenzieren.

1. ↑ D. Gale, H. Nikaidō: The Jacobian Matrix and Global Univalence of Mappings. Mathematische Annalen 159 (1965), S. 81–93.