Laplace-muunnos

Laplace-muunnos (Laplacen muunnos) on eräs yleisimmin käytetyistä integraalimuunnoksista. Muunnoksella on käytännön sovelluksia monilla fysiikan osa-alueilla, erityisesti elektroniikassa sekä matematiikassa todennäköisyyslaskennassa. Laplace-muunnosta voidaan käyttää myös differentiaaliyhtälöiden alkuarvotehtävien ratkaisemiseen.^[1]

Mielivaltaisen funktion f(t), joka on määritelty kaikilla t>0, Laplace-muunnos määritellään integraalina:

${\displaystyle F(s)={\mathcal {L}}\{f(t)\}=\int _{0^{-}}^{\infty }e^{-st}f(t)dt}$,

missä ${\displaystyle 0-=\lim _{\epsilon \rightarrow +0}-\epsilon }$.^[1] Joskus käytetään myös kaksipuolista muotoa:

${\displaystyle {\mathcal {L}}\{f(t)\}=\int _{-\infty }^{\infty }e^{-st}f(t)dt}$

Yleisessä tapauksessa muunnoksen argumentti ${\displaystyle s}$ on kompleksiluku: ${\displaystyle s=\sigma _{1}+i\sigma _{2}}$, missä ${\displaystyle i}$ on imaginääriyksikkö ja ${\displaystyle \sigma _{1},\sigma _{2}\in \mathbb {R} }$. Laplace-muunnoksen käänteismuunnos tunnetaan Bromwichin integraalina. Se on kompleksinen integraali:

${\displaystyle f(t)={\mathcal {L}}^{-1}\{F(s)\}={\frac {1}{2\pi i}}\int _{\gamma -i\infty }^{\gamma +i\infty }e^{st}F(s)ds}$

1. ↑ ^{a b} Kekäläinen, P.: ”3. Toisen kertaluvun lineaarinen yhtälö”, Differentiaaliyhtälöt, s. 72. Jyväskylä: Jyväskylän yliopisto, matematiikan laitos, 2000. ISBN 951-39-0810-0