Mitta

Mitta on mittateorian peruskäsite, jolla tarkoitetaan funktiota, jonka halutaan liittävän erilaisiin tutkittaviin joukkoihin esimerkiksi lukumäärä, pituus, pinta-ala, tilavuus tai todennäköisyys. Mitan käsitteeseen pohjautuvat todennäköisyysteoria ja integraalilaskennan yleinen teoria.^[1]

Lebesguen mitta ${\displaystyle m}$ reaalilukujen joukossa ${\displaystyle \mathbb {R} }$ ja sen osajoukoissa mittaa välin pituutta: ${\displaystyle m([3,8])=5}$. Usean pistevieraan välin yhdisteen mitta on näiden osavälien mittojen summa. Joukon ${\displaystyle \mathbb {R} ^{2}}$ Lebesguen mitta mittaa joukkojen pinta-alaa, jne. Ihan kaikille joukon ${\displaystyle \mathbb {R} }$ osajoukoille Lebesguen mittaa ei pysty määrittelemään. Niistä, joille pystyy, käytetään termiä mitallinen joukko.

Lukumäärämitta puolestaan kertoo joukon alkioiden lukumäärän paitsi että äärettömillä joukoilla se saa arvon ${\displaystyle \infty }$. Sen pystyy määrittelemään kaikille joukoille. Muitakin mittoja on loputtomasti.

Tässä artikkelissa "mitta" tarkoittaa positiivista mittaa eli sellaista, jonka arvot ovat joukossa ${\displaystyle [0,\infty ]}$. Kompleksinen mitta määritellään muuten samoin, mutta sen arvojen pitää olla kompleksilukuja (siis ${\displaystyle \infty }$ on kielletty). Merkkinen mitta määritellään muuten samoin, mutta sen arvojen pitää kuulua joukkoon ${\displaystyle \mathbb {R} }$ tai ${\displaystyle \mathbb {R} \cup \{\pm \infty \}}$ riippuen siitä, minkä oppikirjan määritelmää käytetään. Välin ${\displaystyle [0,1]}$ osajoukkoihin rajoitettu Lebesguen mitta on näitä kaikkia, mutta koko joukon ${\displaystyle \mathbb {R} }$ Lebesguen mitta ei tietenkään ole kompleksinen mitta.

1. ↑ Viittausvirhe: Virheellinen <ref>-elementti; viitettä m1 ei löytynyt