Potenssisarja

Potenssisarja on sellainen sarjakehitelmä, joka (yhden muuttujan tapauksessa) on muotoa

${\displaystyle f(x)=a_{0}+a_{1}(x-c)+a_{2}(x-c)^{2}+a_{3}(x-c)^{3}+\ldots =\sum _{i=0}^{\infty }a_{i}(x-c)^{i}}$. ^[1]

Tyypillinen potenssisarja on jotakin funktiota kuvaava Taylorin sarja. Usein funktion kehittäminen potenssisarjaksi tapahtuu origon ympäristössä, jolloin ${\displaystyle c=0}$ ja kehitelmä saa yksinkertaisemman muodon

${\displaystyle f(x)=a_{0}+a_{1}x+a_{2}x^{2}+a_{3}x^{3}+\ldots =\sum _{i=0}^{\infty }a_{i}x^{i}}$

Polynomit ovat potenssisarjojen erikoistapauksia, joissa summaus on äärellinen. Potenssisarjat ovat hyvin käyttökelpoisia työkaluja ja niitä tulee vastaan monissa yhteyksissä. Analyysissä potenssisarjat ovat perustyökaluja, mutta niitä tarvitaan myös muun muassa todennäköisyyslaskennassa (generoivat funktiot), elektroniikassa (Z-muunnos) tai lukuteoriassa (p-adiset luvut ja desimaaliesitykset).

1. ↑ Viittausvirhe: Virheellinen <ref>-elementti; viitettä p1 ei löytynyt