Axiomes de Hilbert

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Dans un mémoire paru en 1899, Les fondements de la géométrie (Grundlagen der Geometrie), David Hilbert propose une axiomatisation de la géométrie euclidienne. Ce sont ces axiomes, qui ont été révisés au cours des éditions successives par Hilbert lui-même, ou des axiomes directement inspirés de sa présentation que l'on appelle axiomes de Hilbert.

Hilbert se situe dans la lignée d'Euclide et de ses Éléments, qui du point de vue de la rigueur ne satisfont plus les géomètres du XIX^e siècle, car pour démontrer rigoureusement les théorèmes associés à cette géométrie, il est nécessaire d'admettre comme vraies des hypothèses supplémentaires laissées implicites par Euclide.

Hilbert établit un système d'axiomes simples, qu'il répartit en plusieurs groupes, dont il analyse la portée, les théorèmes qu'ils permettent de démontrer, et ceux qui ne peuvent être obtenus sans ce groupe d'axiomes. Son objet est, ainsi qu'il le présente dans son introduction, « l'analyse de notre intuition de l'espace ».

Les axiomes de Hilbert apparaissent souvent comme la version axiomatique moderne qui permet une fondation rigoureuse de la géométrie d'Euclide. Il existe cependant d'autres axiomatisations de la géométrie élémentaire (dont les objectifs sont en partie différents) comme celle de Tarski ou celle de Birkhoff (en).