Coefficient binomial

En mathématiques, les coefficients binomiaux, ou coefficients du binôme, définis pour tout entier naturel n et tout entier naturel k inférieur ou égal à n, sont des entiers donnant le nombre de parties (ou sous-ensembles, non ordonnés) à k éléments d'un ensemble à n éléments. On les note^[1] ${\displaystyle \textstyle {n \choose k}}$ — qui se lit « k parmi n » — ou ${\displaystyle \textstyle {C_{n}^{k}}}$, la lettre C étant l'initiale du mot « combinaison ».

Les coefficients binomiaux sont donnés par :

${\displaystyle {\binom {n}{k}}={\frac {n\times (n-1)\times \cdots \times (n-k+1)}{k\times (k-1)\times \cdots \times 1}}}$,

ou, de manière équivalente, mais plus compacte, à l'aide de la fonction factorielle :

${\displaystyle {n \choose k}={\frac {n!}{k!(n-k)!}}}$.

Ils interviennent dans de nombreux domaines des mathématiques : formule du binôme en algèbre, dénombrements, développement en série, lois de probabilités, etc. On peut les généraliser, sous certaines conditions, aux nombres complexes.