Ensemble fini

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En mathématiques, un ensemble fini est un ensemble qui possède un nombre fini d'éléments, c'est-à-dire qu'il est possible de compter ses éléments, le résultat étant un nombre entier. Un ensemble infini est un ensemble qui n'est pas fini.

Ainsi l'ensemble des chiffres usuels (en base dix)

${\displaystyle \{0,1,2,3,4,5,6,7,8,9\}}$

qui possède 10 éléments, est fini. De même l'ensemble des lettres de l'alphabet qui possède 26 éléments.

L'ensemble de tous les nombres entiers naturels

${\displaystyle \{0,1,2,3,\ldots ,10,\ldots ,100,\ldots \}}$

est, lui, infini : on peut toujours aller au-delà d'un nombre entier. De même, l'ensemble de tous les mots que l'on peut former avec les 26 lettres de l'alphabet, sans se préoccuper de leur signification, et sans restreindre leur longueur, est lui aussi infini.

Plus formellement, un ensemble ${\displaystyle E}$ est dit fini s'il existe un entier naturel ${\displaystyle n}$ et une bijection entre ${\displaystyle E}$ et l'ensemble des entiers naturels strictement plus petits que ${\displaystyle n}$. Cet entier ${\displaystyle n}$, qui est alors unique, est appelé le nombre d'éléments, ou cardinal, de l'ensemble fini ${\displaystyle E}$. Établir une telle bijection revient à étiqueter les éléments de ${\displaystyle E}$ avec les entiers de ${\displaystyle 0}$ à ${\displaystyle n-1}$ ou, ce qui revient au même, avec les entiers de ${\displaystyle 1}$ à ${\displaystyle n}$.

Une propriété importante des ensembles finis est donnée par le principe des tiroirs de Dirichlet : une fonction d'un ensemble fini dans un ensemble fini de cardinal strictement inférieur ne peut être injective. Cette propriété est utile en particulier en combinatoire, qui plus généralement étudie les structures finies.

La définition d'ensemble fini fait référence aux entiers naturels, mais certains mathématiciens et logiciens ont souhaité fonder les mathématiques sur la notion d'ensemble, qui leur semblait plus primitive. Des définitions d'ensemble fini ou d'ensemble infini ont été proposées, qui ne faisaient pas référence aux entiers. La première d'entre elles est celle de Dedekind^[1], qui s'appuie sur le principe des tiroirs : un ensemble est fini au sens de Dedekind s'il ne peut pas être mis en bijection avec l'une de ses parties propres. Mais les ensembles finis au sens de Dedekind ne sont finis au sens usuel que dans une théorie des ensembles munie d'une forme faible de l'axiome du choix.

Les développements de la théorie des ensembles, après sa première axiomatisation par Ernst Zermelo, ont permis ensuite de définir les entiers dans celle-ci, et donc la définition donnée en termes d'entiers peut se voir finalement comme une définition purement ensembliste. Par ailleurs, d'autres caractérisations d'ensemble fini ont été données, comme celle d'Alfred Tarski, dont l'équivalence avec la définition usuelle n'utilise pas l'axiome du choix.