Nombre de Bernoulli

En mathématiques, les nombres de Bernoulli, notés B_n (ou parfois b_n pour ne pas les confondre avec les polynômes de Bernoulli ou avec les nombres de Bell), constituent une suite de nombres rationnels.

Il existe deux conventions pour la définition de ces nombres qui ne diffèrent que par le signe du terme d'indice 1. La convention prise dans la suite de l'article est de considérer le terme d'indice 1 comme négatif.

Ces nombres ont d'abord été étudiés par Jacques Bernoulli (ce qui a conduit Abraham de Moivre à leur donner le nom que nous connaissons aujourd'hui) en cherchant des formules pour exprimer les sommes, dites sommes de Faulhaber, du type:

${\displaystyle \sum _{k=0}^{n-1}k^{m}=0^{m}+1^{m}+2^{m}+\cdots +{(n-1)}^{m}.}$

Pour des valeurs entières de m, cette somme s'écrit comme un polynôme de la variable n dont les premiers termes sont :

${\displaystyle \sum _{k=0}^{n-1}k^{m}={\frac {1}{m+1}}\left(n^{m+1}-{\frac {1}{2}}{m+1 \choose 1}{n^{m}}+{\frac {1}{6}}{m+1 \choose 2}{n^{m-1}}-{\frac {1}{30}}{m+1 \choose 4}{n^{m-3}}+{\frac {1}{42}}{m+1 \choose 6}{n^{m-5}}+\ldots \right).}$

C'est-à-dire, qu'il existe une suite ${\displaystyle (B_{i})}$ de rationnels, les nombres de Bernoulli, tels que, pour tout ${\displaystyle m}$ et tout ${\displaystyle n}$

${\displaystyle \sum _{k=0}^{n-1}k^{m}={\frac {1}{m+1}}\sum _{i=0}^{m}{m+1 \choose i}B_{i}n^{m+1-i}.}$

Les premiers nombres de Bernoulli sont donnés par la table suivante :

On peut les définir par l'intermédiaire du développement en série entière (convergent si |x| < 2π) :

${\displaystyle {\frac {x}{{\rm {e}}^{x}-1}}=\sum _{k=0}^{\infty }B_{k}\,{\frac {x^{k}}{k!}}=1-{\frac {1}{2}}\,x+{\frac {1}{6}}\,{\frac {x^{2}}{2!}}-{\frac {1}{30}}\,{\frac {x^{4}}{4!}}+{\frac {1}{42}}\,{\frac {x^{6}}{6!}}-{\frac {1}{30}}\,{\frac {x^{8}}{8!}}+{\frac {5}{66}}\,{\frac {x^{10}}{10!}}-{\frac {691}{2\;730}}\,{\frac {x^{12}}{12!}}+{\frac {7}{6}}\,{\frac {x^{14}}{14!}}+\ldots }$

Les nombres de Bernoulli apparaissent dans de très nombreuses applications, depuis la formule d'Euler-Maclaurin :

${\displaystyle \sum _{k=0}^{n-1}f(k)\approx \int _{0}^{n}f(x)\,{\rm {d}}x-{\frac {1}{2}}(f(n)-f(0))+{\frac {1}{6}}{\frac {f'(n)-f'(0)}{2!}}-{\frac {1}{30}}{\frac {f^{(3)}(n)-f^{(3)}(0)}{4!}}+{\frac {1}{42}}{\frac {f^{(5)}(n)-f^{(5)}(0)}{6!}}+\ldots }$,

ou les sommes définissant la fonction zêta de Riemann, dues à Leonhard Euler :

${\displaystyle \zeta (2p)=1+{\frac {1}{2^{2p}}}+{\frac {1}{3^{2p}}}+{\frac {1}{4^{2p}}}+\cdots +{\frac {1}{n^{2p}}}+\cdots =|B_{2p}|{\frac {2^{2p-1}}{(2p)!}}\pi ^{2p},}$

jusqu'à l'approche par Kummer du dernier théorème de Fermat.

Les nombres A = 1/6, B = –1/30, C = 1/42, D = – 1/30, ... apparaissent dans Ars Conjectandi de Bernoulli, 1713, page 97.

Les nombres de Bernoulli avec ${\displaystyle B_{1}=1/2}$ au lieu de ${\displaystyle -1/2}$ sont la transformée binomiale des premiers et s'obtiennent à partir des nombres de Worpitzky ou, ce qui est équivalent, en appliquant l'algorithme d'Akiyama-Tanigawa^[2] à 1/(n+1). À la suite de l'article « The Bernoulli Manifesto » de Peter Luschny, Donald Knuth a adopté la valeur ${\displaystyle B_{1}=1/2}$, aussi dans les récentes réimpressions du livre Concrete Mathematics^[3],[4] ; Knuth présente les nouvelles versions dans un texte à part^[5].