Operador de Laplace

En cálculo vectorial, o operador laplaciano é un operador diferencial elíptico de segunda orde, denotado como Δ, relacionado con certos problemas de minimización de certas magnitudes sobre un certo dominio. O operador ten ese nome en recoñecemento a Pierre Simon Laplace que estudou solucións de ecuacións diferenciais en derivadas parciais nas que aparecía dito operador.

Expresado en coordenadas cartesianas é igual á suma de todas as segundas derivadas parciais non mixtas dependentes dunha variable. Corresponde á div (grad φ), de onde sae o uso do símbolo delta (Δ) ou nabla cadrado (${\displaystyle \nabla ^{2}}$) para representalo. Se ${\displaystyle \phi }$ e ${\displaystyle \mathbf {A} }$ son un campo escalar e un campo vectorial respectivamente, o laplaciano de ambos pode escribirse en termos do operador nabla como:

${\displaystyle \Delta \phi =(\nabla \cdot \nabla )\phi =\nabla ^{2}\phi \qquad \qquad \Delta \mathbf {A} =\nabla (\nabla \cdot \mathbf {A} )-\nabla \times (\nabla \times \mathbf {A} )=(\nabla \cdot \nabla )\mathbf {A} }$