Transformada integral

En matemática, unha transformada integral é calquera transformada T da seguinte forma:

(Tf)(u)=\int _{t_{1}}^{t_{2}}f(t)\,K(t,u)\,dt.

O input desta transformada é unha función f, e o output é outra función Tf.

Existen varias transformadas integrais uteis. Cada transformada correspone a unha diferente escolla da función K, que se chama de Kernel da transformada.

Táboa de Transformadas integrais
Transformada	Símbolo	Kernel	t₁	t₂
Transformada de Fourier	${\mathcal {F}}$	${\frac {e^{iut}}{\sqrt {2\pi }}}$	$-\infty \,$	$\infty \,$
Transformada de Mellin	${\mathcal {M}}$	$t^{u-1}\,$	$0\,$	$\infty \,$
Transformada de Laplace dos dous lados	${\mathcal {B}}$	$e^{-ut}\,$	$-\infty \,$	$\infty \,$
Transformada de Laplace	${\mathcal {L}}$	$e^{-ut}\,$	$0\,$	$\infty \,$
TRansformada de Hankel		$t\,X_{\nu }(ut)$	$0\,$	$\infty \,$
Transformada de Abel		${\frac {t}{\sqrt {t^{2}-u^{2}}}}$	$u\,$	$\infty \,$
Transformada de Hilbert	${\mathcal {H}}$	${\frac {1}{\pi }}{\frac {1}{u-t}}$	$-\infty \,$	$\infty \,$
Transformada Identidade		$\delta (u-t)\,$	$t_{1}<u\,$	$t_{2}>u\,$

A pesar das propiedades das transformadas integrais variaren moito, elas teñen algunhas propiedades en común. Por exemplo, calquera transformada integral é un operador linear, unha vez que o integral é un operador linear e na verdade caso o kernel sexa permitido ser unha función xeneralizada, entón todos os operadores lineares transformanse integrais (o teorema kernel de Schwartz é unha versión formalizada desta afirmación).