Pengguna:Dedhert.Jr/Kuasa titik

Artikel atau sebagian dari artikel ini mungkin diterjemahkan dari Power of a point di en.wikipedia.org. Isinya masih belum akurat, karena bagian yang diterjemahkan masih perlu diperhalus dan disempurnakan. Jika Anda menguasai bahasa aslinya, harap pertimbangkan untuk menelusuri referensinya dan menyempurnakan terjemahan ini. Anda juga dapat ikut bergotong royong pada ProyekWiki Perbaikan Terjemahan. (Pesan ini dapat dihapus jika terjemahan dirasa sudah cukup tepat. Lihat pula: panduan penerjemahan artikel)

Dalam geometri bidang elementer, kuasa titik merupakan sebuah bilangan real ${\displaystyle h}$ yang mencerminkan jarak relatif titik yang diberikan dari sebuah lingkaran. Lebih khususnya, kuasa titik ${\displaystyle P}$ terhadap lingkaran ${\displaystyle O}$ dari jari-jari ${\displaystyle r}$ didefinisikan oleh (Gambar 1).

${\displaystyle h^{2}=s^{2}-r^{2}}$.

dimana ${\displaystyle s}$ adalah jarak antara titik ${\displaystyle P}$ dan pusat ${\displaystyle O}$ dari lingkaran. Oleh definisi ini, titik-titik di dalam lingkaran memiliki kuasa negatif, titik diluar memiliki kuasa positif, dan titik mengenai lingakran memiliki kuasa nol/ Untuk titik eksternal, kuasanya sama dengan kuadrat dari panjang garis singgung dari titik ke lingkaran. Kuasa titiknya juga dikenal sebagai kuasa lingkaran titik atau kuasa lingkaran terhadap titik tersebut.

Kuasa titik ${\displaystyle P}$ (lihat di Gambar 1) dapat didefinisikan dengan setara sebagai hasilkali jarak dari titik ${\displaystyle P}$ ke dua titik perpotongan suatu garis yang melalui ${\displaystyle P}$. Contohnya, di Gambar 1, sebuah sinar berasal dari ${\displaystyle P}$ memotong lingkaran di kedua titik, ${\displaystyle M}$ dan ${\displaystyle N}$, sedangkan sebuah sinar garis sunggung memotong lingkaran di satu titik ${\displaystyle T}$, garis mendatar dari ${\displaystyle P}$ memotong lingkaran di ${\displaystyle A}$ dan ${\displaystyle B}$, titik ujung dari diameter. Hasilkali masing-masing jaraknya sama dengan satu sama lain dan dengan kuasa titik ${\displaystyle P}$ dalam lingkaran tersebut.

${\displaystyle \mathbf {\overline {PT}} ^{2}=\mathbf {\overline {PM}} \times \mathbf {\overline {PN}} =\mathbf {\overline {PA}} \times \mathbf {\overline {PB}} =(s-r)\times (s+r)=s^{2}-r^{2}=h^{2}}$

Persamaan ini terkadang dikenal sebagai "teorema sekan-tangen", "teorema memotong tali busur", atau "teorema kuasa titik". Dalam kasus bahwa ${\displaystyle P}$ terletak di dalam lingakran, dua titik perpotongan akan berada di sisi yang berbeda dari garis melalui ${\displaystyle P}$, garisnya dapat dianggap mempunyai sebuah arah, sehingga salah satu jaraknya adalah negatif, dan oleh karena itu hasil kali dari dua juga.

Kuasa titik digunakan dalam banyak definisi dan bukti yang geometris. Contohnya, sumbu radikal dari dua lingkaran yang diberikan adalah garis lurus yang terdiri dari titik yang memiliki kuasa yang sama untuk kedua lingkaran. Untuk setiap titik pada garis ini, terdapat sebuah lingkaran tunggal yang berpusat pada titik tersebut yang memotong kedua lingkaran yang diberikan secara ortogonal; dengan setara, garis singgung dengan panjang yang sama dapat digambar dari titik tersebut untuk kedua lingkaran yang diberikan. Dengan cara yang serupa, pusat radikal dari tiga lingkaran merupakan titik tunggal dengan kuasa yang sama untuk semua ketiga lingkaran. Terdapat sebuah lingkaran tunggal, berpusat pada pusat radikal, yang memotong semua tiga lingkaran yang diberikan secara ortogonal; dengan setara, garis singgungnya digambar dari pusat radikal untuk semua ketiga lingkaran memiliki panjang yang sama. Diagram kuasa himpunan lingkaran membagi bidang menjadi daerah-daerah dalam

Lebih umumnya, matematikawan Perancis bernama Edmond Laguerre mendefinisikan kuasa titik terhadap suatu lengkung aljabar dalam cara yang serupa.