Pengguna:Dedhert.Jr/Uji halaman 01/13

Nilai-nilai faktorial yang dipilih dibulatkan dalam notasi ilmiah

${\displaystyle n}$	${\displaystyle n!}$
0	1
1	1
2	2
3	6
4	24
5	120
6	720
7	5040
8	40.320
9	362.880
10	3.628.800
11	39.916.800
12	479.001.600
13	6.227.020.800
14	87.178.291.200
15	1.307.674.368.000
16	20.922.789.888.000
17	355.687.428.096.000
18	6.402.373.705.728.000
19	121.645.100.408.832.000
20	2.432.902.008.176.640.000
25	1,551121004×1025
50	3,041409320×1064
70	1,197857167×10100
100	9,332621544×10157
450	1.733368733×101000
1000	4.023872601×102567
3249	6,412337688×1010.000
10000	2,846259681×1035.659
25206	1,205703438×10100.000
100000	2,824229408×10456.573
205023	2,503898932×101.000.004
1000000	8,263931688×105.565.708
10100	1010101,9981097754820

Dalam matematika, faktorial dari ${\displaystyle n}$ bilangan bulat, dilambang sebagai ${\displaystyle n!}$, merupakan hasil kali dari semua bilangan bulat positif yang lebih kecil atau sama dengan ${\displaystyle n}$. Faktorial dari ${\displaystyle n}$ juga merupakan hasil kali dari ${\displaystyle n}$ dengan faktorial lebih kecil berikutnya:$${\displaystyle {\begin{aligned}n!&=n\times (n-1)\times (n-2)\times (n-3)\times \cdots \times 3\times 2\times 1\\&=n\times (n-1)!\\\end{aligned}}}$$Contohnya,$${\displaystyle 5!=5\times 4\times 3\times 2\times 1=5\times 24=120.}$$Catatan bahwa untuk nilai ${\displaystyle 0!}$ adalah 1, menurut konvensi darab kosong.^[1]

Faktorial ditemukan dalam beberapa budaya kuno, khususnya di matematika India dalam tulisan karya sastra Jain, dan mistisisme Yahudi dalam buku Talmud yang berjudul Sefer Yetzirah. Operasi faktorial biasanya ditemukan dalam banyak cabang matematika, khususnya kombinatorik. Dalam kombinatorik, faktorial merupakan operasi paling dasar yang dipakai untuk menghitung kemungkinan barisan yang berbeda, sebagai contoh, permutasi dari ${\displaystyle n}$ benda yang berbeda ada ${\displaystyle n!}$. Dalam analisis matematika, faktorial dipakai dalam deret kuasa fungsi eksponensial dan fungsi lain. Faktorial juga memiliki aplikasi terhadap aljabar, teori bilangan, teori peluang, dan ilmu komputer.

Fungsi faktorial dalam matematika dikembangkan pada akhir abad ke-18 dan awal abad ke-19. Aproksimasi Stirling menyediakan sebuah hampiran yang akurat mengenai faktorial dari bilangan yang besar, yang memperlihatkan bahwa pertumbuhan nilainya lebih cepat daripada pertumbuhan eksponensial. Adapula rumus Legendre yang menjelaskan eksponen bilangan prima dalam faktorisasi bilangan prima melalui faktorial, dan rumus tersebut dapat dipakai untuk menghitung jejak nol melalui faktorial. Daniel Bernoulli dan Leonhard Euler menginterpolasi fungsi faktorial menjadi sebuah fungsi kontinu pada bilangan kompleks, kecuali pada bilangan bulat negatif. Fungsi tersebut ialah fungsi gamma (ofset).

Ada banyak fungsi khusus dan barisan bilangan lainnya terkait erat dengan faktorial, di antaranya koefisien binomial, faktorial ganda, faktorial turun, primorial, dan subfaktorial. Implementasi fungsi faktorial biasanya dipakai sebagai contoh tentang tampialn pemrograman komputer yang berbeda, di antaranya dalam kalkulator ilmiah dan scientific computing software libraries. Walaupun faktorial yang besar dihitung secara langsung melalui rumus hasil kali atau rekurensi tidak efisien, faster algorithms are known, matching to within a constant factor the time for fast multiplication algorithms for numbers with the same number of digits.

1. ^ Graham, Ronald L.; Knuth, Donald E.; Patashnik, Oren (1988). Concrete Mathematics. Reading, MA: Addison-Wesley. hlm. 111. ISBN 0-201-14236-8.