Peta linear

Dalam matematika, peta linear (disebut juga pemetaan linear, transformasi linear atau, dalam konteks tertentu, fungsi linear) adalah pemetaan $V \to W$ antara dua modul (misalnya, dua ruang vektor) yang mempertahankan (artinya dijelaskan di bawah) operasi penambahan dan perkalian skalar.

Kasus khusus yang penting adalah ketika $V = W$ , di mana peta linearnya disebut endomorfisme (linear) dari $V$ . Terkadang istilah operator linear dipakai untuk kasus ini.^[1] Dalam kebiasaan yang lain, operator linear membolehkan $V$ dan $W$ yang berbeda, tetapi mereka harus merupakan urang vektor real.^[2] Terkadang istilah fungsi linear memiliki arti yang sama dengan peta linear, sedangkan dalam geometri analitis artinya berbeda.

Sebuah peta linear selalu memetakan subruang linear ke subruang linear (mungkin dengan dimensi yang lebih rendah);^[3] contohnya pemetaan sebuah bidang yang melalui titik nol ke sebuah bidang, garis lurus atau titik. Peta linear biasanya dilambangkan sebagai matriks, dan contoh sederhananya adalah transformasi linear rotasi dan pencerminan.

Dalam bahasa aljabar abstrak, sebuah peta linear merupakan sebuah homoformisme modul. Dalam bahasa teori kategori, sebuah peta linear merupakan sebuah morfisme dalam kategori modul pada sebuah gelanggang.

^ Transformasi linear dari $V$ ke $V$ sering disebut operator linear di $V$ Rudin 1976, hlm. 207
^ Misalkan $V$ dan $W$ adalah dua ruang vektor real. Sebuat pemetaan dari $V$ ke $W$ disebut sebuah 'pemetaan linear' atau 'transformasi linear' atau 'operator linear' [...] dari $V$ ke $W$ , apabila
${\textstyle a(u+v)=au+av}$ untuk setiap ${\textstyle u,v\in V}$ ,
${\textstyle a(\lambda u)=\lambda au}$ untuk setiap $u\in V$ dan semua $λ$ real. Bronshtein, Semendyayev 2004, hlm. 316
^
Rudin 1991, hlm. 14
Berikut beberapa sifat dari pemetaan linear ${\textstyle \Lambda :X\to Y}$ ${\textstyle \Lambda :X\to Y}$ yang buktinya sangat mudah jadi kita tidak menuliskannya; diasumsikan bahwa ${\textstyle A\subset X}$ ${\textstyle A\subset X}$ dan ${\textstyle B\subset Y}$ ${\textstyle B\subset Y}$ :
1. ${\textstyle \Lambda 0=0.}$
2. Jika $A$ merupakan sebuah subruang (atau sebuah himpunan konveks, atau sebuah himpunan seimbang) hal yang sama berlaku juga di ${\textstyle \Lambda (A)}$
3. Jika $B$ merupakan sebuah subruang (atau sebuah himpunan konveks, atau sebuah himpunan seimbang) hal yang sama berlaku juga di ${\textstyle \Lambda ^{-1}(B)}$
4. Secara khusus, himpunan:
  $\Lambda ^{-1}(\{0\})=\{x\in X:\Lambda x=0\}={N}(\Lambda )$
  merupakan sebuah subruang dari $X$ , disebut ruang nol dari ${\textstyle \Lambda }$ .

[1] Transformasi linear dari $V$ ke $V$ sering disebut operator linear di $V$ Rudin 1976, hlm. 207

[2] Misalkan $V$ dan $W$ adalah dua ruang vektor real. Sebuat pemetaan dari $V$ ke $W$ disebut sebuah 'pemetaan linear' atau 'transformasi linear' atau 'operator linear' [...] dari $V$ ke $W$ , apabila
${\textstyle a(u+v)=au+av}$ untuk setiap ${\textstyle u,v\in V}$ ,
${\textstyle a(\lambda u)=\lambda au}$ untuk setiap $u\in V$ dan semua $λ$ real. Bronshtein, Semendyayev 2004, hlm. 316

[3] Rudin 1991, hlm. 14
Berikut beberapa sifat dari pemetaan linear ${\textstyle \Lambda :X\to Y}$ yang buktinya sangat mudah jadi kita tidak menuliskannya; diasumsikan bahwa ${\textstyle A\subset X}$ dan ${\textstyle B\subset Y}$ :
${\textstyle \Lambda 0=0.}$
Jika $A$ merupakan sebuah subruang (atau sebuah himpunan konveks, atau sebuah himpunan seimbang) hal yang sama berlaku juga di ${\textstyle \Lambda (A)}$
Jika $B$ merupakan sebuah subruang (atau sebuah himpunan konveks, atau sebuah himpunan seimbang) hal yang sama berlaku juga di ${\textstyle \Lambda ^{-1}(B)}$
Secara khusus, himpunan:
$\Lambda ^{-1}(\{0\})=\{x\in X:\Lambda x=0\}={N}(\Lambda )$
merupakan sebuah subruang dari $X$ , disebut ruang nol dari ${\textstyle \Lambda }$ .

[4] ${\textstyle \Lambda 0=0.}$

[5] Jika $A$ merupakan sebuah subruang (atau sebuah himpunan konveks, atau sebuah himpunan seimbang) hal yang sama berlaku juga di ${\textstyle \Lambda (A)}$

[6] Jika $B$ merupakan sebuah subruang (atau sebuah himpunan konveks, atau sebuah himpunan seimbang) hal yang sama berlaku juga di ${\textstyle \Lambda ^{-1}(B)}$

[7] Secara khusus, himpunan:
$\Lambda ^{-1}(\{0\})=\{x\in X:\Lambda x=0\}={N}(\Lambda )$
merupakan sebuah subruang dari $X$ , disebut ruang nol dari ${\textstyle \Lambda }$ .

[1]

[2]

[3]