Sinus dan kosinus

Sinus dan kosinus
Informasi umum
Definisi umum	${\displaystyle {\begin{aligned}&\sin(\alpha )={\frac {\text{sisi tegak}}{\text{hipotenusa}}}\\[8pt]&\cos(\alpha )={\frac {\text{sisi alas}}{\text{hipotenusa}}}\\[8pt]\end{aligned}}}$
Tujuan diciptakan	Astronomi India
Tanggal penemuan solusi	Kemaharajaan Gupta
Bidang penerapan	Trigonometri, Transformasi integral, dll.
Domain dan Citra
Domain dari fungsi	(−∞, +∞) a
Sifat umum
Paritas fungsi	sinus: ganjil; kosinus: genap
Periode	2π
Nilai-nilai spesifik
Nilai di 0	sinus: 0; kosinus: 1
Nilai maksimum	sinus: (2kπ + π2, 1)b; kosinus: (2kπ, 1)
Nilai minimum	sinus: (2kπ − π2, −1); kosinus: (2kπ + π, -1)
Sifat khusus
Akar	sinus: kπ; kosinus: kπ + π2
Titik kritis	sinus: kπ + π2; kosinus: kπ
Titik belok	sinus: kπ; kosinus: kπ + π2
Titik tetap	sinus: 0; kosinus: Bilangan Dottie
Kebalikan	sinus: kosekan; cosine: sekan
Invers	sinus: arcsinus; cosine: arccosinus
Turunan	${\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {d}{dx}}\sin(x)&=\cos(x)\\[8pt]{\frac {d}{dx}}\cos(x)&=-\sin(x)\\[8pt]\end{aligned}}}$
Antiturunan	${\displaystyle {\begin{aligned}\int \sin(x)\,dx&=-\cos(x)+C\\[8pt]\int \cos(x)\,dx&=\sin(x)+C\\[8pt]\end{aligned}}}$
Fungsi yang relevan	tan, csc, sec, cot
Definisi deret
Deret Taylor	${\displaystyle {\begin{aligned}\sin(x)&=x-{\frac {x^{3}}{3!}}+{\frac {x^{5}}{5!}}-{\frac {x^{7}}{7!}}+\cdots \\[8pt]&={}\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{n}}{(2n+1)!}}x^{2n+1}\\[8pt]\cos(x)&=1-{\frac {x^{2}}{2!}}+{\frac {x^{4}}{4!}}-{\frac {x^{6}}{6!}}+\cdots \\[8pt]&={}\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{n}}{(2n)!}}x^{2n}\\[8pt]\end{aligned}}}$
a Untuk bilangan real. b Variabel k adalah suatu bilangan bulat.

Dalam matematika, sinus dan kosinus adalah fungsi trigonometri untuk sudut. Sinus dan kosinus dari suatu sudut lancip didefinisikan dalam konteks segitiga siku-siku: nilai sinus adalah rasio dari panjang sisi segitiga yang menghadap sudut tersebut (sisi tegak) terhadap panjang sisi terpanjang segitiga (hipotenusa), sedangkan nilai kosinus adalah rasio panjang sisi segitiga yang lain (sisi alas) terhadap hipotenusa. Untuk suatu sudut ${\displaystyle x}$, fungsi sinus dan kosinus dituliskan sebagai ${\displaystyle \sin x}$ and ${\displaystyle \cos x}$.^[1]

Lebih umum lagi, definisi sinus dan kosinus dapat diperluas ke sembarang nilai real, dalam konteks panjang suatu segmen garis pada suatu lingkaran satuan. Definisi yang lebih modern menyatakan sinus dan kosinus dalam bentuk deret tak hingga, atau solusi dari suatu persamaan diferensial, yang memungkinkan memperluasnya ke bilangan negatif dan bahkan ke bilangan kompleks.

Fungsi sinus dan kosinus umum digunakan untuk memodelkan fenomena periodik seperti bunyi dan gelombang suara, posisi dan kecepatan dari osilator harmonik, intensitas cahay matahari dan panjang hari, maupun variasi temperatur sepanjang tahun.

Fungsi sinus dan kosinus dapat dilacak kembali ke fungsi jyā dan koṭi-jyā yang digunakan pada astronomi India pada periode Gupta (Aryabhatiya, Surya Siddhanta), yang mengalami penerjemahan dari bahasa Sanskerta ke bahasa Arab, kemudian dari bahasa Arab ke bahasa Latin.^[2] Kata "sinus" berasal dari penerjemahan bahasa Latin yang salah oleh Robert of Chester untuk kata Arab jiba, yang selanjutnya merupakan transliterasi dari kata Sanskerta untuk setengah busur, jya-ardha.^[3] Kata "cosinus" (Indonesia: "kosinus") berasal dari singkatan Latin "complementi sinus" pada abad pertengahan.^[4]

1. ^ Weisstein, Eric W. "Sine". mathworld.wolfram.com (dalam bahasa Inggris). Diakses tanggal 2020-08-29. 
2. ^ Uta C. Merzbach, Carl B. Boyer (2011), A History of Mathematics, Hoboken, N.J.: John Wiley & Sons, 3rd ed., p. 189.
3. ^ Victor J. Katz (2008), A History of Mathematics, Boston: Addison-Wesley, 3rd. ed., p. 253, sidebar 8.1. "Archived copy" (PDF). Diarsipkan dari versi asli (PDF) tanggal 2015-04-14. Diakses tanggal 2015-04-09.  Parameter |url-status= yang tidak diketahui akan diabaikan (bantuan)
4. ^ "cosine".